ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.673: 004.9

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В КЛАССЕ ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ*

А.Я. Фридман

Институт информатики и математического моделирования КНЦ РАН

Аннотация

Рассматриваются вопросы моделирования сложных динамических объектов (СДО) в слабо формализованных предметных областях. Для предложенной ранее ситуационной концептуальной модели подобных объектов разработана интерпретация в классе семиотических формальных систем, что позволяет интегрировать различные средства исследования СДО, обеспечив совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемые с использованием картографической информации.

Ключевые слова:

концептуальная модель, пространственный динамический объект, семиотическая формальная система.

Введение

В настоящей работе рассмотрены вопросы моделирования СДО в слабо формализованных предметных областях. Помимо структурной сложности, особенность СДО состоит в том, что результаты их функционирования существенно зависят от пространственных характеристик составных частей и от времени.

При моделировании СДО необходимо учитывать разнообразные информационные, финансовые, материальные, энергетические потоки, предусматривать анализ последствий изменения структуры объекта, возможных критических ситуаций и т.п. Принципиальная неполнота знаний о подобных объектах ограничивает применимость классических аналитических моделей и определяет ориентацию на использование опыта экспертов, что, в свою очередь, связано с созданием соответствующих средств формализации экспертных знаний и их встраиванием в систему моделирования. Поэтому в современном моделировании значительно возросла роль такого понятия, как концептуальная модель предметной области (КМПО) . Основа КМПО -не алгоритмическая модель передачи и преобразования данных, как в аналитических моделях, а декларативное описание структуры объекта и взаимодействия его составных частей. Таким образом, КМПО изначально ориентирована на формализацию знаний экспертов. В КМПО определяются элементы исследуемой предметной области и описываются отношения между ними, которые задают структуру и причинно-следственные связи, существенные в рамках определенного исследования .

Представленная в данной работе ситуационная система моделирования (ССМ) на основе древовидной ситуационной концептуальной модели (СКМ) есть один из вариантов

* Работа частично поддержана грантами РФФИ (проекты № 13-07-00318-а, № 14-07-00256-а,

№ 14-07-00257-а, № 14-07-00205-а, № 15-07-04760-а, № 15-07-02757-а).

реализации технологий типа CASE (Computer Aided Software Engineering) и RAD (Rapid Application Development).

Семиотические формальные системы

Основное достоинство логических исчислений в качестве модели представления и обработки знаний заключается в наличии единообразной формальной процедуры доказательства теорем. Однако оно влечет за собой и основной недостаток данного подхода -сложность использования при доказательстве эвристик, отражающих специфику конкретной проблемной среды . Это особенно важно при построении экспертных систем, вычислительная мощность которых в основном определяется знаниями, характеризующими специфику предметной области. К другим недостаткам формальных систем следует отнести их монотонность (невозможность отказаться от заключений, если становится истинным дополнительный факт, и в этом смысле они отличаются от рассуждений на основе здравого смысла), отсутствие средств для структурирования используемых элементов и недопустимость противоречий.

Стремление устранить недостатки формальных систем при их использовании в искусственном интеллекте привело к появлению семиотических систем, формализуемых восьмеркой :

S::= (В, F, A, R, Q(B), Q(F), Q(A), Q(R)). (1)

В (1) первые четыре компонента те же, что и в определении формальной системы , а остальные компоненты - правила изменения первых четырех компонентов под влиянием накапливаемого в базе знаний опыта о строении и функционировании сущностей в данной проблемной среде. Теория подобных систем находится на начальной стадии развития, но существует много примеров решения конкретных задач в рамках этой парадигмы. Ниже описывается один из таких примеров.

Основы ситуационного моделирования

При постановке задачи и подготовке процесса моделирования КМПО предназначена для представления знаний о структуре исследуемой предметной области. Для элементов КМПО существует соответствие между собственно объектом реального мира и его модельным представлением. В обеспечение возможности автоматизации последующих этапов моделирования осуществляется отображение модели предметной области на адекватную ей формальную систему. Этот переход реализуется в ходе построения КМПО путем задания каждому ее элементу некоторого формального описания. В результате, завершение построения КМПО будет соответствовать переходу от неформальных знаний об исследуемой предметной области к их формальному представлению, допускающему только однозначную процедурную трактовку. Полученная формальная модель носит декларативный характер, так как в ней описывается в первую очередь состав, структура и отношения между объектами и процессами, независимо от конкретного способа их реализации в компьютере.

Декларативный язык описания СКМ состоит из двух частей: части, соответствующей объектам описываемого мира, и части, соответствующей отношениям и атрибутам представленных в модели объектов. В качестве математической основы декларативного языка использована аксиоматическая теория множеств.

В СКМ описываются три вида элементов (сущностей) реального мира - объекты, процессы и данные (или ресурсы). Объекты отображают организационную и пространственную структуру объекта исследования, с каждым из них может быть связан набор процессов. Под процессом понимается некоторое действие (процедура), преобразующее подмножество данных, называемых входными по отношению к рассматриваемому процессу, в другое их подмножество,

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

именуемое выходным. Данные характеризуют состояние системы. Они используются при реализации процессов, служат результатами их выполнения. Выполнение любого процесса изменяет данные и соответствует переходу системы из одного состояния в другое. Взаимосвязи и взаимодействие объектов реального мира описывается в модели с помощью отношений, задаваемых на множествах объектов, процессов и данных. Каждое отношение связывает элемент модели с некоторым множеством других элементов.

Имена элементов СКМ даются в терминах предметной области. Каждому элементу модели назначается исполнитель, обеспечивающий его реализацию в ходе моделирования. Тип исполнителя определяет характеристики реализации, например, язык программирования, на котором пишется исполнитель соответствующего процесса, и тип исполнителя в алгоритмическом языке.

Атрибуты, описывающие тип отношения иерархии , конкретизируют представление объектов модели на следующем, нижнем уровне иерархии. Тип отношения «композиция» (&) определяет, что объект строится агрегацией его подобъектов. Тип «классификация» (v) указывает, что объект верхнего уровня есть обобщение группы объектов нижнего уровня. Отношение типа «классификация» в СКМ используется для представления различных вариантов элемента верхнего уровня. Тип «итерация» (*) позволяет определять в СКМ итеративные процессы и описывать регулярные структуры данных.

В зависимости от типа отношения иерархии объекту назначается управляющее данное. Управляющие данные используются для доопределения структуры процессов, имеющих тип отношений иерархии «классификация» или «итерация», и данных, имеющих иерархическое отношение типа «итерация».

Формальное представление СКМ дает возможность существенно автоматизировать анализ корректности структуры и разрешимости СКМ .

Важный аспект эффективности СКМ состоит в удобстве представления результатов моделирования. В настоящее время наиболее перспективной средой для компьютеризованного исследования объектов класса СДО считается географическая информационная система (ГИС) . Кроме продвинутых способов визуализации и графической обработки данных, инструментальные средства ГИС в принципе позволяют ставить задачи для пространственно координированных расчетов в дружественной к пользователю графической среде, хотя это требует дополнительных разработок программного обеспечения. Кроме того, ГИС-пакеты не рассчитаны на анализ динамики объекта и серьезную математическую обработку данных.

Еще одно достоинство ГИС в рамках рассматриваемой задачи заключается в том, что с каждым графическим элементом можно связать дополнительные поля БД, доступные для модификации внешними вычислительными модулями, в отличие от графических атрибутов. В частности, в этих полях можно хранить атрибуты концептуальной модели, относящихся к заданному элементу, и другие параметры, необходимые для организации и проведения моделирования.

Таким образом, каждый цикл расчетов в ходе моделирования включает три стадии: задание условий расчета, собственно расчет и вывод результатов. Неформальная цель разработки СКМ заключается в автоматизации всех этих стадий с обеспечением максимального сервиса непрограммирующему пользователю, то есть с использованием терминологии предметной области и дружественного интерфейса пользователя с компьютером. По тем же соображениям ССМ должна быть функционально полной, то есть предоставлять пользователю все нужные ему средства без явного выхода в другие программные среды. Создание специализированных графических библиотек и средств генерации отчетов потребовало бы неоправданных затрат на программирование и значительно удлинило сроки разработки. Поэтому представляется целесообразным компромиссное решение: возложить задачи вывода данных на стандартные пакеты или специализированные программные модули, но в максимальной степени автоматизировать их работу, исключив диалог с пользователем в их среде.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Формальное описание СКМ

СКМ базируется на представлении объекта моделирования в виде древовидного И-ИЛИ графа, отображающего иерархическую декомпозицию структурных элементов СДО в соответствии с их организационными связями.

Чтобы избежать вычислительных проблем, связанных с малыми изменениями данных, и обеспечить поддержку совместной расчетно-логической обработки данных, в СКМ выходными данными процедур обработки (исключение составляют данные, вычисляемые ГИС) могут быть только данные с дискретным конечным множеством значений (типа списков). Если значения некоторого данного есть строковые константы, то такое данное называется параметром (категория PAR), а имеющее числовые значения именуется переменной (категория VAR), и над ним можно выполнять определенные математические операции. Если результат вычислений представляет собой значение переменной, он округляется до ближайшего значения из списка допустимых значений. В дальнейшем, если сказанное относится к данным любого разрешенного в СКМ типа, употребляется термин «данное». Таким образом, множество имен данных делится на множества имен переменных и параметров:

D::=< Var, Par >, Var::= {var }, i = 1, N ;

7 7 к l 7 v 7 (2)

Par::={parj}, j = 1, Np, где Nv и Np - мощности этих множеств.

Данные моделируют ресурсы (количественные характеристики) объектов или процессов (категория RES), переменные могут также использоваться как настроечные параметры функций (критериев) качества функционирования элементов СКМ (категория ADJ). Соответственно, множество имен переменных делится на подмножество имен ресурсов элементов СКМ и подмножество имен настроечных параметров критериев качества этих элементов:

Var::=< Res, Adj > (3)

Отдельную категорию (категорию GIS) составляют графические характеристики объектов СКМ, непосредственно вычисляемые в ГИС. Все они относятся к переменным, но не рассматриваются как списки, так как используются только как входные ресурсы элементов модели и не меняются в ходе имитации.

Объекты СКМ имеют три основные характеристики: имя, функциональный тип, который определяет структуру и функции объекта и используется в процессе анализа корректности СКМ, и имя суперобъекта, доминирующего данный объект в СКМ (отсутствует для объекта верхнего уровня). По положению в дереве объектов и на карте выделяются три категории объектов СКМ: примитивы (категория LEAF), структурно неделимые с точки зрения глобальной цели моделирования, элементарные объекты (категория GISC), географически связанные с одним ГИС-элементом (полигоном, дугой или точкой какого-либо покрытия), и составные объекты (категория COMP), состоящие из элементарных и/или составных объектов. Структура объектов категории GISC в СКМ может быть достаточно сложной, но все их подобъекты имеют одну и ту же географическую привязку. Множество объектов образует иерархию:

О = {а 0Уа}::=2°а, (4)

где а = 1, Nl - номер уровня дерева объектов, к которому относится данный объект (L - общее количество уровней декомпозиции);

вб = 1, Nб - порядковый номер объекта на его уровне декомпозиции;

г = 1, N6_ - порядковый номер суперобъекта, доминирующего заданный элемент на вышележащем уровне;

Об - множество объектов, принадлежащих уровню с номером а.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

Для обеспечения связности СКМ принимается, что существует единственный суперобъект, доминирующий все объекты первого уровня декомпозиции, то есть справедливо соотношение:

O. -i0.”} 0, = (5)

Процессы в СКМ отображают преобразования данных и реализуются различными способами в зависимости от присвоенной процессу одной из трех следующих категорий: внутренние процессы (категория INNER), все их входные и выходные данные относятся к одному объекту; внутриуровневые процессы (категория INTRA), связывающие объекты СКМ, не подчиняющиеся друг другу; межуровневые процессы (категория INTER), описывающие передачу данных между объектом и подобъектами или между объектом и суперобъектом. Введенное категорирование процессов несколько усложняет процесс создания СКМ (в некоторых случаях может потребоваться создавать фиктивные процессы, обеспечивающие такую типизацию), но позволяет сделать процедуры формального контроля СКМ значительно более полными и детальными.

Основные характеристики процессов: уникальное имя, характеристика исполнителя процесса и функциональный тип процесса, который определяет тип преобразований, им осуществляемых, и используется в процессе анализа корректности СКМ; дополнительно используются список входных и выходных данных и их допустимых граничных значений. Исполнитель процесса специфицирует его динамические свойства и способ реализации в компьютере. Исполнитель можно задать либо непосредственно (в виде разностного уравнения), либо косвенно - ссылкой на имя реализующего этот процесс программного модуля.

Схема концептуальной модели образуется кортежем:

^ССМ::=<о,P,DCM,H,OP,PO,U >, (6)

где O - множество объектов КМПО (9);

P::= {pn I n = 1, Np - множество процессов КМПО;

DCM с D - множество данных концептуальной модели, где D определено в (4), (5);

H - отношение иерархии объектов, которое с учетом (4) и (5) примет вид:

где Hб с O6х B,(O6) - отношения иерархии для каждого из уровней дерева объектов, причем b"(o6) есть разбиение множества Оа;

OP с O х B (P) - отношение «объект - порождающие его выходные данные процессы», причем B (P) есть разбиение множества P;

PO с P х B(О) - отношение «процесс - создающие его входные данные объекты»;

U::= Up иU0 - отношение, формализующее управление процессом вычислений на основе СКМ, имеет составляющие следующего вида:

U с P х B(Res) - отношение «процесс - управляющее данное»;

Uo с О х B(Res) - отношение «объект - управляющее данное».

Отношение «объект (процесс) - управляющее данное» ставит в соответствие некоторому объекту (процессу) модели данное, которое доопределяет этот объект при переходе к алгоритмической интерпретации. Передача данных между объектами осуществляется только через списки входных и выходных данных этих объектов, что согласуется с принципами инкапсуляции данных, принятыми в современном объектно-ориентированном программировании. Все процессы, приписанные к одному объекту, описываются отношением OA с О х B(P) «объект - приписанные к нему процессы». Это отношение не входит в схему

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

СКМ, поскольку, в отличие от отношений Н, ОР и РО, не задается пользователем при конструировании модели, а формируется автоматически.

Отношения, определенные в модели, удобно представлять в форме функций (7), частично определенных на множествах О и Р, с областями значений В(Р), B(O) или В"(Об). Названия

функций обозначены строчными символами, соответствующими прописным символам в названиях отношений:

h:°б_1 ^B"(Oa),(Vo;. е06,Vo! е°б_Hoj = hб(o))оojHbог); op . O ^ B(p^ (Vo е O, Vp е р)({р; = opio)) «■ o,Opp]);

Po.p ^ b(0), (vo е O, VP] е p)((o = po(P])) « P]OPot);

oa: O ^ B(P),(VOi е O, Vp} е P)((p} = oa(ot))otOAp});

: p ^ B(Res\(vPi е p, Vres] е Res)((res] = up (pi)) ptUpres]);

: O ^ B(Res), (Vo1 е O, VreSj е Res){(resj = uo (o1)) o1Uo resj).

Множества значений функций (7), формирующие сечения областей значений введенных отношений по некоторому элементу областей их определения, обозначаются жирным шрифтом:

h6 (oi)::= \Р] : o] = ha(oi)}; oP(oi) ::= \Р] : Р] = oP(oi)};

ро(Р]) ::= {o: oi = po(p])}; oci(pi) ::= ^ . p} = oa(oi)}; (8)

up (Pi) ::= \res]: res] = up (Pi)}; uo (o) ::= \res]: res] = uo (o)}.

Аналогично (8) записываются сечения введенных отношений по подмножествам их областей определения, строящихся как объединения всех сечений по элементам этих подмножеств. Например, h (Oi), где Oi с O6_х, есть множество объектов уровня а, доминируемых данным подмножеством объектов oj е O t, которые находятся на уровне а - 1.

Ниже также используется множество подчиненности объекта oi h ’(oi)::= U h(oi).

Разработанные алгоритмы присвоения категорий элементам СКМ используют вышеописанные отношения и выявляют все возможные ошибки категоризирования элементов модели . Процедуры контроля правильности назначений исполнителей элементов СКМ используют следующие ограничения (доказательства даны в ).

Теорема 1. В конечной СКМ не может иметь места рекурсивная декомпозиция типов исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта, не может иметь исполнителя того же типа, что и исходный объект.

Теорема 2. В конечной СКМ не может иметь места инверсия подчиненности исполнителей объектов, то есть ни один объект, входящий во множество подчиненности некоторого объекта с исполнителем типа е1, не может иметь исполнителя того же типа, что и любой другой объект, во множестве подчиненности которого содержится какой-либо объект с исполнителем типа е1.

Принципы контроля разрешимости СКМ

Выполненное согласно принятым в ССМ правилам построение корректной модели еще не гарантирует, что эта модель разрешима, то есть можно решить все задачи, в ней декларированные. Под разрешимостью в общем случае понимается достижимость некоторого подмножества объектов модели, которые определяются как целевые, из другого подмножества объектов, которые определяются как исходные. Разрешимость может рассматриваться в двух основных аспектах: при анализе всей модели в целом (до начала расчетов) она подразумевает согласованность и однозначность описания всех допустимых вариантов достижения глобальной цели на различных уровнях иерархии, а в процессе

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

реализации моделирования разрешимость состоит в обеспечении выбора корректного фрагмента модели, описывающего изучаемую ситуацию. Функциональное различие между перечисленными аспектами состоит в том, что при анализе всей модели оценивается только потенциальная возможность моделирования всех описанных в модели объектов, а при анализе конкретной ситуации дополнительно ставятся задачи выбора минимального фрагмента, описывающего эту ситуацию, и количественного сопоставления возможных альтернатив, в ней содержащихся. Второй аспект разрешимости исследуется в , здесь же представлены особенности анализа разрешимости СКМ в целом, который автоматически проводится после завершения контроля ее корректности, а по требованию пользователя может быть выполнен в любое время. В общем случае, задачу анализа разрешимости можно сформулировать в следующем виде: указывается два множества элементов модели - исходное и целевое, при этом модель разрешима, если существует последовательность шагов, позволяющая получить целевое множество из исходного. Для этого пригодны простые волновые алгоритмы .

При анализе обоих аспектов разрешимости концептуальная модель рассматривается как формальная система. В ее алфавит входят:

символы, обозначающие элементы модели (pi, on, resj, ...);

функциональные символы, описывающие отношения и связи между элементами модели (ha, ор,...);

специальные и синтаксические символы (=, (,), ^,...).

Множество формул в рассматриваемой формальной системе образуют: собственно символы, обозначающие элементы КМПО:

{Pi е P} u {Oj eO] u {resk e DCM}; (9)

выражения (7), (8) и другие формулы для вычисления функций и множеств, определяемых с помощью отношений, которые введены над множествами (5);

выражения вычислимости для каждого процесса концептуальной модели:

list_in(pi) \ list out(pi), Up(pi) [, sp)] ^ p„ list_out(p,), (10)

где в силу принятого в ССМ предположения об автономности структуры каждого объекта во множество s(p) процессов, предшествующих pi, могут входить только процессы, приписанные к тому же объекту:

s(pi) с оа(оа"1(р1)); (11)

выражения вычислимости для каждого объекта концептуальной модели: list_in(oi), up(Oj), оа(о,), h(o,) ^ oi, list_out(oi); (12)

выражения вычислимости входных данных каждого объекта концептуальной модели, получающего материальные ресурсы от других объектов (ог: oo(o) Ф 0):

00(0,) ^ list_in(oi). (13)

В выражения (9)-(13) входят только материальные ресурсы, то есть в них не анализируются выходные данные процессов настройки и обратной связи, относящиеся к информационным ресурсам СКМ. Кроме того, вычислимость определенных в предпосылках этих выражений множеств констатируется при условии вычислимости всех элементов указанных множеств.

Дополнительного обоснования требует первая предпосылка предложения (10). Как известно, при наличии циклов по ресурсам в предметной области могут появляться данные, которые при построении концептуальной модели должны декларироваться как входные и выходные для некоторого процесса КМПО одновременно. По принятому в ССМ предположению такие циклы вносятся внутрь объектов КМПО, то есть должны учитываться при анализе разрешимости на уровне процессов.

Если при анализе разрешимости СКМ использовать выражение вычислимости, предложенное в и принимающее для СКМ вид:

list_in(p,) & up(p,) [& s(p,)] ^ p, & list_out(p,), (14)

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

то в модель нельзя будет включать ресурсы, служащие одновременно входными и выходными данными одного и того же процесса, то есть описывать часто встречающиеся на практике рекуррентные процессы вычислений. Выход из положения дает приведенная ниже теорема, доказанная в работе .

Теорема 3. Ресурс, одновременно входной и выходной для одного и того же процесса СКМ и не являющийся выходным ни для одного из предшествующих ему процессов, связанных с указанным процессом отношением порождения процессов (13), можно исключить из левой части предложения вычислимости без нарушения корректности анализа разрешимости модели.

Во множество аксиом рассматриваемой формальной системы входят:

аксиомы вычислимости всех ресурсов, относящихся к внешним данным (имеющим исполнителей типа DB, GISE или GEN)

|- resj: (ter(resj) = DB) v (ter(resj) = GISE) v (tS[(resJ) = GEN); (15)

аксиомы вычислимости всех ГИС-элементов СКМ (типы которых начинаются символами dot, pol или arc)

|- 0J: <х> dot) v (to(o/) Ю pol) V (to(oj) Ю arcX (16)

где символом условно обозначено вхождение стандартных ГИС-типов в функциональный тип объекта.

В рассматриваемой формальной системе заданы два правила вывода:

правило непосредственного следования -

Fi, Fi ^ F2 |- F2; (17)

правило следования с равенством -

Fi, Fi = F2, F2 ^ F3 |- F3, (18)

где F, - некоторые формулы из (9)-(13).

Структура описанной формальной системы аналогична структуре системы, предложенной в . Существенное отличие - вид выражений вычислимости (10), (12), (13) и состав аксиом, на основе которых проводится анализ разрешимости концептуальной модели.

Совокупность представленных в СКМ знаний о предметной области может быть признана корректной, если на различных уровнях иерархии в концептуальной модели действительно представлены взаимосогласованные спецификации объектов и процессов, обеспечивающих корректное порождение ресурсов для функционирования объектов вышележащих уровней. Соответствие спецификаций на всех уровнях ведет к тому, что концептуальная модель полностью характеризует корневой объект, соответствующий глобальной задаче, которую решает система в целом. Концептуальная модель разрешима , если в соответствующей ей формальной системе существует вывод каждой теоремы вычислимости из множества аксиом и других теорем.

Определение 1. СКМ разрешима тогда и только тогда, когда для каждого элемента модели, не входящего во множество аксиом, применение выражений вычислимости вида (10), (12), (13) к аксиомам и уже доказанным формулам (множеству теорем T) позволяет построить вывод с применением правил (17), (18) из множества аксиом (A) формальной системы (9)-(13).

При анализе разрешимости, который, согласно определению 1, представляет собой разновидность методов автоматического доказательства теорем, используется понятие «механизм вывода», в данном случае оно понимается как способ, алгоритм применения правил вывода (17), (18), обеспечивающий эффективное доказательство всей требуемой совокупности формул из множества T теорем (то есть синтаксически правильно построенных формул) рассматриваемой формальной системы. Наиболее простой способ организации вывода -«потоковый» механизм, при котором множество считающихся доказанными формул A", вначале равное множеству аксиом (A1 = A), расширяется в результате применения правил вывода . Если по истечении некоторого времени T с A", то модель разрешима, если это неверно и не удается применить ни одно из правил, то СКМ неразрешима.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

В качестве стратегии доказательства, используемой при анализе концептуальной модели общего вида, предложена стратегия снизу-вверх , состоящая в циклическом выполнении следующих этапов.

Этап I. Применяется правило (17) для получения всех возможных следствий из формул и аксиом.

Этап II. Применяются правила (17), (18) для получения всех возможных следствий из аксиом и полученных на предыдущем этапе доказательства формул.

Этап III. Применяется правило (13) для расширения списка считающихся вычислимыми объектов.

Доказано, что для построенных по описанным выше правилам корректных концептуальных моделей анализ разрешимости модели в целом сводится к анализу разрешимости отдельных входящих в ее состав шаблонов процессов категории INTRA и процессов агрегирования .

Обработка ситуаций

В теории ситуационного управления отмечается принципиальная важность разработки процедур обобщения описаний ситуации на основе их классификации с использованием множества прагматически важных признаков, которое само подлежит синтезу. К фундаментальным особенностям формирования понятий и классификации в ситуационном управлении отнесены:

Наличие процедур обобщения, основанных на структуре отношений между элементами ситуаций;

Возможность работы с именами отдельных понятий и ситуаций;

Необходимость согласования классификации ситуаций по некоторому основанию с классификацией на множестве воздействий (управлений).

Для реализации перечисленных принципов классификации и обобщения ситуаций в ССМ предусмотрен ряд программных средств:

Аппарат синтеза и анализа типов ситуаций, в частности, оптимальных достаточных ситуаций, ориентированный на решение вопросов координации и согласования управляющих воздействий на различных уровнях СКМ;

Инструментальные средства порождения и проверки гипотез о сравнительных характеристиках достаточных ситуаций в рамках вероятностной интерпретации этих гипотез с учетом влияния инструментальных погрешностей исходных данных на результаты моделирования;

Процедуры обобщения описаний ситуаций с учетом пространственно-временных отношений между элементами ситуаций, использующие библиотеку пространственновременных функций (ПВФ).

Синтез и анализ типов ситуаций. В результате классификации ситуаций по разработанным для ССМ алгоритмам генерируется большое количество классов ситуаций, полученных для различных объектов принятия решений (ОПР) и различных листьевых объектов фрагментов. С целью аккумуляции знаний о результатах классификации в ССМ предлагается использовать средства обобщения описаний ситуаций по синтезированным типам этих ситуаций. Этот способ конкретизирует общие рекомендации по построению иерархического описания ситуаций в системах ситуационного управления . Аналогично описанию полной ситуации обобщенное описание каждой достаточной ситуации строится на основе перечисления входящих в нее листьевых объектов и ОПР, что однозначно ее определяет ввиду древовидности декомпозиции объектов СКМ. Для синтеза обобщенного описания ситуации на первом уровне иерархии описаний применяется та же процедура, которая обеспечивает генерирование типов исполнителей объектов по типам приписанных к ним процессов . Исходные данные в ней -типы листьевых объектов и ОПР исследованных достаточных ситуаций, а результат работы -

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

уникальный тип достаточной ситуации, дополненный порядковым номером ее класса и ее номером в этом классе. В отличие от лексикографического порядка, который используется при генерации типов исполнителей объектов, здесь типы объектов, входящих в ситуацию, упорядочиваются по их положению в дереве объектов (4). Порядковый номер класса определяется номером ресурса, доминирующего в этом классе, согласно списку выходных ресурсов ОПР, а порядковый номер ситуации в пределах класса задается ее предпочтительностью . Оптимальная достаточная ситуация данного класса получает номер 1. Абсолютной шкалой классификации ситуаций естественно считать их классификацию по глобальному критерию качества, то есть по принадлежности к тому или иному классу ситуаций, обеспечивающих доминирование одного из выходных параметров глобального объекта СКМ по обобщенным затратам , которые рассчитаны по критерию качества ОПР этой достаточной ситуации. Первым ключом при построении типа ситуации выбран ее порядковый номер в пределах класса, затем идет номер ОПР, затем - индексы типов списка листьевых объектов, а в конце - номер класса. Описанный порядок индексации использован для удобства формирования запросов типа: «Найти среди оптимальных достаточных ситуаций некоторого заданного уровня ситуацию, составляющую подграф такой-то глобальной оптимальной ситуации», которые типичны при решении задач координации управлений на различных уровнях принятия решений.

Задача обобщения описаний ситуаций в ССМ на основе типов ситуаций включает два основных этапа: поиск общих признаков ситуаций, попавших в один класс для каждого исследованного фрагмента КМПО, и поиск вхождений ситуаций в ситуации более высоких уровней (высота уровня здесь задается уровнем нахождения ОПР). Общая схема рассуждений при обобщении вполне вписывается в идеологию ДСМ-метода . Однако программная реализация ДСМ-метода в ССМ потребовала бы весьма значительных объемов программирования, поэтому был применен вероятностный механизм вывода, реализованный в оболочке ОЭС ССМ , то есть вместо оценок обоснованности тех или иных гипотез, вычисляемых согласно ДСМ-методу, использованы специальные функции пересчета условных вероятностей причинно-следственных связей между конфигурациями достаточных ситуаций и результатами их классификации.

Как следует из изложенного способа типизации ситуаций в ССМ, описания достаточных ситуаций, классифицированных по одному фрагменту КМПО, качественно различаются списками своих листьевых объектов, которые все вместе образуют разбиение множества листьевых объектов использованной при построении фрагмента полной ситуации. Поэтому при обобщении их описаний в основном применяются метод сходства и метод различия, причем в качестве предпосылок используются подстроки конкатенации типов листьевых объектов. Результаты обобщения формируются в виде двух наборов правил, в первый включаются положительные примеры, во второй - отрицательные. По формулам, аналогичным пересчету априорных вероятностей в апостериорные , наличие положительных примеров приводит к повышению условной вероятности соответствующего правила, причем степень увеличения пропорциональна порядковым номерам ситуаций, использованных в данном примере, а наличие отрицательных примеров в той же степени уменьшает условную вероятность правила. После окончания первого этапа обобщения отбраковываются правила с вероятностью меньше 0.5.

На втором этапе обобщения отыскивается сходство между ситуациями различных уровней. Применяется тот же механизм обобщения, но синтезируемые правила отражают условные вероятности появления достаточных ситуаций нижних уровней декомпозиции в составе достаточных ситуаций более высоких уровней и, в частности, глобальных достаточных ситуаций путем оценки частости вхождения типов нижележащих ситуаций в типы вышележащих. Таким образом делается попытка сопоставить между собой классы ситуаций, составленные для ОПР различных уровней, что при достаточном количестве обучающих примеров позволяет составить

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

иерархическую классификацию достаточных ситуаций с указанием ситуаций, оптимальных для перевода объекта в некоторое состояние из заданного класса.

Еще одна группа правил ориентирована на оценку эффективности заложенных в КМПО альтернатив. Идея поиска заключается в следующем: степень эффективности той или иной альтернативы (как для процессов, так и для объектов) тем выше, чем шире набор классов ситуаций, в которые попадают достаточные ситуации с различными вариантами данной альтернативы. И обратно: если ни один из имеющихся вариантов выбора не меняет класс достаточной ситуации, то данная альтернатива не предлагается пользователю при расширении минимальных полных ситуаций, по крайней мере, для того же самого ОПР, что позволяет ускорить процесс классификации ситуаций. С другой стороны, желательно уметь заранее определять тот набор свойств, которыми обладают самые «радикально действующие» альтернативы, а точнее, несколько наборов - для каждого потенциально желательного варианта изменения областей доминирования.

Все полученные в ходе обобщения правила (по терминологии ситуационного управления они относятся к логико-трансформационным правилам) хранятся в ЭС ССМ и используются как управляющие формулы в процессе классификации ситуаций. Следует отметить еще одну особенность разработанного вероятностного механизма вывода - возможность снизить влияние погрешностей исходных данных на результаты обобщения ситуаций путем учета вероятности ошибочного отнесения ситуации к тому или иному классу. Рассмотрим основную идею его применения для повышения достоверности обобщения ситуаций.

При классификации достаточных ситуаций некоторого фрагмента СКМ могут возникать ошибки из-за структурной неустойчивости процесса вычисления затрат при их передаче между элементами модели. Например, если в КМПО допускаются циклы по ресурсам, то при изменении текущего значения какого-либо участвующего в цикле ресурса класс достаточной ситуации, где рассчитываются затраты по этому ресурсу, может значительно измениться, что, по мнению автора, нарушает устойчивость процедур классификации и обобщения. Такие ситуации предлагается отбраковывать из процедур обобщения, для чего в ССМ рекомендуется применять процедуры проверки зависимости результатов от возможных погрешностей моделирования. Если при анализе влияния погрешностей моделирования для некоторого ресурса СКМ выявлено превышение доли изменения затрат на выходе ОПР по сравнению с долей тестового изменения текущего значения ресурса, такой ресурс рассматривается как недостоверный, вероятность сбоя при его использовании для классификации принимается пропорциональной степени упомянутого превышения. Если вероятность сбоя превышает заданное пороговое значение (по умолчанию используется пороговая вероятность 0.3), то данный ресурс исключается из процедур классификации. В противном случае классификация ситуаций все же проводится, но с учетом вероятности сбоев, что в принципе приводит к снижению контрастности процедур классификации и, как следствие, к снижению вероятности включения ситуаций с участием недостоверного ресурса в категорию оптимальных или весьма предпочтительных.

Анализ пространственно-временных зависимостей. Работа с пространственно-временными зависимостями осуществляется с помощью библиотеки пространственно-временных функций (ПВФ) - программных модулей, обеспечивающих выборку из соответствующих баз исходных данных (БИД) релевантной информации для текущего запроса, занесение этой информации в основную БД и ее обработку для принятия решения об истинности или ложности условия, формирующего запрос. Поэтому в общем случае программа каждой ПВФ включает три части: драйвер БИД, организующий интерфейс основной БД и БИД, программу записи результатов запроса в основную БД и программу интерпретации результатов запроса. При этом изменение предметной области приводит к необходимости модифицировать только драйверы БИД.

Все ПВФ имеют выход логического типа, то есть возвращают ответ «да» или «нет» в результате анализа входящего в них логического условия. Разработаны два вида временных и три вида пространственных функций.

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

Интерпретация концептуальной модели...

Временная функция ИНТЕРВАЛ поддерживает выборку ретроспективных данных за некоторый промежуток времени, ее синтаксис таков:

в_течение (<условие>,<начало>,<конец>,<доля>), (19)

где <условие> может иметь вид:

<имя> <знак> <подсписок_значений (n)>, (20)

оно определяет контролируемую характеристику элемента массива;

<начало> и <конец> задают соответственно начальный и конечный моменты интервала проверки (их отстояние в прошлое от текущего момента времени);

<доля> определяет минимальный допустимый процент (количество) элементов среди всех анализируемых, которые должны удовлетворять <условию>, чтобы функция (19) дала утвердительный ответ на запрос.

Если введено нулевое значение параметра <начало>, проводится анализ всей имеющейся информации до момента времени <конец>. Аналогично, при нулевом значении параметра <конец>, анализируются данные от момента <начало> до текущего момента времени. При совпадении величин <начало> и <конец> рассматривается только один момент времени в прошлом.

Следующая функция позволяет провести временную привязку хранимых данных

к заданному в запросе моменту времени:

момент (<условие>,<время>,<доля>), (21)

где <условие> и <доля> формируются аналогично функции (19), а <время> - фиксированный момент времени, для которого производится операция.

Пространственные функции записываются в форме:

соседние (<условие>,<доля>) (22)

сходные (<условие>,<доля>,<параметры_сходства>). (23)

Параметры <условие> и <доля> задаются как в функциях (19), (21); различие между видами пространственных функций заключается в критерии отбора элементов для совместного анализа: в функции (22) анализируются элементы, примыкающие к текущему геометрически, в функции (23) отбираются элементы, имеющие одинаковые с текущим элементом значения <параметров_сходства>, выбираемых из списка имен существующих параметров и переменных. Например, в приложении ССМ к задаче прогнозирования горных ударов <параметр_сходства> имел имя «разлом» и использовался для совместного анализа характеристик элементов объекта, принадлежащих к тектоническому разлому.

Функция БЛИЖАИШИИ предназначена для определения объекта, имеющего наиболее близкие пространственные координаты к заданным. Функция возвращает утвердительный ответ, если координаты объекта попадают в заданную окрестность. Функция имеет следующий вид:

ближайший (<условие>,<координаты>,<допуск>), (24)

где параметр <условие> имеет уже описанный смысл, параметр <координаты> описывает пространственные характеристики точки привязки, параметр <допуск> задает допустимое удаление по пространственным координатам от указанной точки.

ПВФ можно использовать только в частях ЕСЛИ правил и управляющих формул ЭС. Так как все ПВФ имеют выход логического типа, допускается однократная вложенность различных ПВФ друг в друга, то есть запросы вида

соседние (сходные (<условие>,<доля1>,<параметры_сходства>),<доля2>). (25)

При этом драйвер БИД генерирует запрос, по которому вначале отбираются элементы, удовлетворяющие самой внутренней ПВФ, затем из них отбираются удовлетворяющие более внешней, и т.д. Характеристики отобранных элементов переписываются в БД (эта информация используется в режиме объяснения), интерпретатор вычисляет выходное значение ПВФ, которое заносится в базу правил. Вложенные запросы представляют наибольший интерес, так как

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

А.Я. Фридман

позволяют путем комбинирования ПВФ оценивать совместно пространственные и временные характеристики исследуемого объекта.

Описанные выше ПВФ обеспечивают анализ достаточно широкого класса

пространственно-временны"х соотношений между характеристиками элементов объекта экспертизы, однако в зависимости от специфики предметной области возможна разработка и других ПВФ.

В отличие от правил, генерируемых при обобщении ситуаций по их типам, правила обобщения рассматриваемой здесь группы относятся не к ситуации в целом, а к отдельным объектам, процессам или даже ресурсам СКМ. В слоты ПВФ <условие>

и <параметры_сходства> можно включать логические условия и различные характеристики элементов СКМ, в том числе типы и категории этих элементов. В ССМ не предусмотрено автоматических процедур генерации подобных правил, они конструируются пользователем, и вероятности в них пересчитываются в ходе классификации аналогично изложенному выше.

Заключение

На основе введенных формальных определений различных видов ситуаций, возникающих при моделировании СДО, разработана его иерархическая модель, включающая: формальную систему - СКМ и интегрированную с ней ЭС - со множеством базовых элементов (7)-(10), набором синтаксических правил порождения одних элементов СКМ другими в виде отношений типа (7), (8), системой аксиом (15), (16) и правилами вывода (17), (18), а также правила изменения компонентов этой формальной системы в зависимости от целей моделирования и сложившейся на объекте исследования ситуации, задаваемые посредством выбора соответствующих фрагментов СКМ и управления выводом в ЭС ССМ. СКМ относится к семиотическим (знаковым) моделям, поскольку в ней разработаны три группы логикотрансформационных правил - пополнения, классификации и обобщения ситуаций.

Отличия предложенной модели состоят в интеграции средств, ориентированных на исследование СДО, что обеспечивает совместную логико-аналитическую обработку данных и ситуационный анализ состояния изучаемого объекта с применением экспертных знаний и учетом пространственно-временных зависимостей в характеристиках СДО, выполняемых с использованием картографической информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин И.А., Путилов В.А., Фильчаков В.В. Распределенная обработка информации в научных исследованиях. Л.: Наука, 1991. 304 с. 2. Цикритзис Д., Лоховски Ф. Модели данных. М.: Финансы и статистика, 1985. 420 с. 3. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 288 с. 4. Бржезовский А.В., Фильчаков В.В. Концептуальный анализ вычислительных систем. СПб.: ЛИАП, 1991. 78 с. 5. Фридман А.Я. Ситуационное управление структурой промышленно-природных систем. Методы и модели. Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. 530 с. 6. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986. 288 с. 7. Митчел Э. Руководство ESRI по ГИС-анализу. 1999. Т. 1. 190 с.

8. Концептуальное моделирование информационных систем / под ред. В.В. Фильчакова. СПб.: СПВУРЭ ПВО, 1998. 356 c. 9. Автоматическое порождение гипотез в интеллектуальных системах / сост. Е.С. Панкратова, В.К. Финн. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 528 с. 10. Darwiche A. Modeling and Reasoning with Bayesian Networks. Cambridge University Press, 2009. 526 p.

Фридман Александр Яковлевич - д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник Института информатики и математического моделирования КНЦ РАН; e-mail: fridman@iimm. kolasc.net.ru

ВЕСТНИК Кольского научного центра РАН 4/2015(23)

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:

а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;

б) модель зависимости результат. переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;

в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.

Если экономические утверждения отражают динамическую (зависящую от фактора времени) взаимосвязь включённых в модель переменных, то значения таких перемен­ных датируют и называют динамическими или временными рядами. Если экономические утверждения отражают статическую (относящуюся к одному периоду времени) взаимосвязь всех включённых в модель переменных, то значения таких переменных принято называть пространственными данными. И надобности в их датировании нет. Лаговыми называются экзогенные или эндогенные переменные экономической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, включающие лаговые переменные, относятся к классу динамических моделей. Предопределёнными называются лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные

23. Трендовые и пространственно-временные ЭМ в планировании экономики

Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в виде временных рядов xt, где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени.

Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда, их сравнение на основе статистических критериев и отбор наилучших из них для прогнозирования.

При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым.

Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы, или - в более широком смысле слова - это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса - Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др.

Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев.

При представлении совокупности результатов наблюдений в виде временных рядов фактически используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению, параметры которого и их изменение можно оценить. По этим параметрам (как правило, по среднему значению и дисперсии, хотя иногда используется и более полное описание) можно построить одну из моделей вероятностного представления процесса. Другим вероятностным представлением является модель в виде частотного распределения с параметрами pj для относительной частоты наблюдений, попадающих в j-й интервал. При этом если в течение принятого времени упреждения не ожидается изменения распределения, то решение принимается на основании имеющегося эмпирического частотного распределения.

При проведении прогнозирования необходимо иметь в виду, что все факторы, влияющие на поведение системы в базовом (исследуемом) и прогнозируемом периодах, должны быть неизменны или изменяться по известному закону. Первый случай реализуется в однофакторном прогнозировании, второй - при многофакторном.

Многофакторные динамические модели должны учитывать пространственные и временные изменения факторов (аргументов), а также (при необходимости) запаздывание влияния этих факторов на зависимую переменную (функцию). Многофакторное прогнозирование позволяет учитывать развитие взаимосвязанных процессов и явлений. Основой его является системный подход к изучению исследуемого явления, а так же процесс осмысливания явления, как в прошлом, так и в будущем.

В многофакторном прогнозировании одной из основных проблем является проблема выбора факторов, обуславливающих поведение системы, которая не может быть решена чисто статистическим путем, а только при помощи глубокого изучения существа явления. Здесь следует подчеркнуть примат анализа (осмысливания) перед чисто статистическими (математическими) методами изучения явления. В традиционных методах (например, в методе наименьших квадратов) считается, что наблюдения независимы друг от друга (по одному и тому же аргументу). В действительности существует автокорреляция и ее неучет приводит к неоптимальности статистических оценок, затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости. Автокорреляция определяется по отклонениям от трендов. Она может иметь место, если не учтено влияние существенного фактора или нескольких менее существенных факторов, но направленных «в одну сторону», либо неверно выбрана модель, устанавливающая связь между факторами и функцией. Для выявления наличия автокорреляции применяется критерий Дурбина-Уотсона. Для исключения или уменьшения автокорреляции применяется переход к случайной компоненте (исключение тренда) или введение времени в уравнение множественной регрессии в качестве аргумента.

В многофакторных моделях возникает проблема и мультиколлинеарности - наличие сильной корреляции между факторами, которая может существовать вне всякой зависимости между функцией и факторами. Выявив, какие факторы являются мультиколлинеарными, можно определить характер взаимозависимости между мультиколлинеарными элементами множества независимых переменных.

В многофакторном анализе необходимо наряду с оценкой параметров сглаживающей (исследуемой) функции построить прогноз каждого фактора (по неким другим функциям или моделям). Естественно, что значения факторов, полученные в эксперименте в базисном периоде, не совпадают с аналогичными значениями, найденными по прогнозирующим моделям для факторов. Это различие должно быть объяснено либо случайными отклонениями, величина которых выявлена указанными различиями и должна быть учтена сразу же при оценке параметров сглаживающей функции, либо это различие не случайно и никакого прогноза делать нельзя. То есть в задаче многофакторного прогнозирования исходные значения факторов, как и значения сглаживающей функции, должны быть взяты с соответствующими ошибками, закон распределения которых должен быть определен при соответствующем анализе, предшествующем процедуре прогнозирования.

24. Сущность и содержание ЭМ: структурной и развернутой

Эконометрические модели - это системы взаимосвязанных уравнений, многие параметры которых определяются методами статистической обработки данных. К настоящему времени за рубежом в аналитических и прогнозных целях разработаны и используются многие сотни эконометрических систем. Ма кроэконометрические модели, как правило, сначала представляются в естественной, содержательной форме, а затем в приведенном, структурном виде. Естественная форма эконометрических уравнений позволяет квалифицировать их содержательную сторону, дать оценку их экономического смысла.

Для построения прогнозов эндогенных переменных необходимо выразить текущие эндогенные переменные модели в виде явных функций предопределённых переменных. Последняя спецификация, полученная путем включения случайных возмущений получена в результате математической формализации экономических закономерностей. Такая форма спецификации называется структурной . В общем случае в структурной спецификации эндогенные переменные не выражены в явном виде через предопределенные.

В модели равновесного рынка только переменная предложениявыражена в явном виде через предопределенную переменную, поэтому для представления эндогенных переменных через предопределенные необходимо выполнить некоторые преобразования структурной формы. Решим систему уравнений для последний спецификации относительно эндогенных переменных.

Таким образом, эндогенные переменные модели выражены в явном виде через предопределенные переменные. Такая форма спецификации получила название приведенной. В частном случае структурная и приведённая фор­мы модели могут совпадать. При правильной спецификации модели пере­ход от структурной к приведённой форме всегда возможен, обратный переход возможен не всегда.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как x. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

где y – эндогенные переменные; x – экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Так, потребление текущего года (y t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y t-1)

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b i и a j , (b i – коэффициент при эндогенной переменной, a j – коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонения от уровня, т. е. под x подразумевается x- (а под y - соответственно у- (. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные структурных коэффициентов модели структурная коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить δ , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Развернутая ЭМ (ее блоки)

Пространственное объединение отдельных элементов технического объекта широко распространенная задача проектирования в любой отрасли техники: радиоэлектроники, машиностроения, энергети­ки и т. д. Значительную частью пространственного моделирования доставляет визуализация отдельных элементов и технического объекта в целом Большой интерес представляют вопросы построения базы данных графических трехмер­ных моделей элементов, алгоритмы и программная реализация графи­ческих приложений для решения данной задачи.

Построение моделей элементов носит универсальный характер и может рассматриваться как инвариантная часть многих систем пространственного моделирования и автоматизированного проектирования технических объектов.

Независимо от возможностей используемой графической среды по характеру формирования графических моделей можно выделить три группы элементов:

1.Уникальные элементы, конфигурация и размеры которых не повторяются в других аналогичных деталях.

2.Унифицированные элементы, включающие некоторый набор Фрагментов конфигураций, характерных для деталей данного класса. Как правило, существует ограниченный ряд типоразмеров унифицированного элемента.

3.Составные элементы, включающие как уникальные, так и унифицированные элементы в произвольном наборе. Используемые графические средства могут допускать некоторую вложенность составных элементов.

Пространственное моделирование уникальных элементов не представляет большой сложности. Прямое формирование конфигурации модели выполняется в интерактивном режиме, после чего программ­ная реализация оформляется на основе протокола формирования мо­дели или текстового описания полученного элемента.

2.Поочередный выбор фрагментов пространственной конфигурации и определение их размеров;

3.Привязка графической модели элемента к прочим элемента, технического объекта или системы;

4.Ввод дополнительной информации о моделируемом элементе

Данный подход формирования моделей унифицированных элементов обеспечивает надежную программную реализацию.

Модель составных элементов состоит из совокупности модели как уникальных, так и унифицированных элементов. Процедурно модель составного элемента строится аналогично модели унифицированного элемента, в которой в качестве графических фрагменте: выступают готовые модели элементов. Основными особенностями являются способ взаимной привязки включаемых моделей и механик объединения отдельных фрагментов в составной элемент. Последнее определяется, главным образом, возможностями инструментальных графических средств.

Интеграция графической среды и системы управления базами данных (СУБД) технической информации обеспечивает открытость системы моделирования для решения других задач проектирования: предварительные конструкторские расчеты, подбор элементной базы, оформление конструкторской документации (текстовой и графической) и др. Структура баз данных (БД) определяется как требованиями графических моделей так и информационными потребностями сопутствующих задач. В качестве инструментальных средств возможно использовать любую СУБД, сопрягаемую с графической средой. Наиболее общий характер носит построение моделей унифицированных элементов. На первом этапе в результате систематизации номенклатуры элементов, однотипных по назначению и составу гра­фических фрагментов, формируется гипотетический или выбирается существующий образец моделируемого элемента, обладающий полным набором моделируемых частей объекта.

Методы интерполяции по дискретно расположенным точкам.

Общая задача интерполяции по точкам формулируется так: дан ряд точек (узлов интерполяции), положение и значения характеристик в которых известны, необходимо определить значения характеристик для других точек, для которых известно только положение. При этом различают методы глобальной и локальной интерполяции, и среди них точные и аппроксимирующие.

При глобальной интерполяции для всей территории одновременно используется единая функция вычисления z = F(x,y) . В этом случае изменение одного значения (х, у) на входе сказывается на всей результирующей ЦМР. При локальной интерполяции многократно применяют алгоритм вычисления для некоторых выборок из общего набора точек, как правило, близко расположенных. Тогда изменение выбора точек сказывается лишь на результатах обработки небольшого участка территории. Алгоритмы глобальной интерполяции создают сглаженные поверхности с небольшим числом резких перепадов; они применяются в случаях, если предположительно известна форма поверхности, например тренд. При включении в процесс локальной интерполяции большой доли общего набора данных она, по сути, становится глобальной.

Точные методы интерполяции.

Точные методы интерполяции воспроизводят данные в точках (узлах), на которых базируется интерполяция, и поверхность проходит через все точки с известными значениями. анализ соседства, в котором все значения моделируемых характеристик принимаются равными значениям в ближайшей известной точке. В результате образуются полигоны Тиссена с резкой сменой значений на границах. Такой метод применяется в экологических исследованиях, при оценке зон воздействия, и больше подходит для номинальных данных.

В методе В-сплайнов строят кусочно-линейный полином, позволяющий создать серию отрезков, которые в конечном итоге образуют поверхность с непрерывными первой и второй производными. Метод обеспечивает непрерывность высот, уклонов, кривизны. Результирующая ЦМР имеет растровую форму. Этот метод локальной интерполяции применяется, главным образом, для плавных поверхностей и не годится для поверхностей с отчетливо выраженными изменениями - это приводит к резким колебаниям сплайна. Он широко используется в программах интерполяции поверхностей общего назначения и сглаживания изолиний при их рисовке.

В TIN-моделях поверхность в пределах каждого треугольника обычно представляется плоскостью. Поскольку для каждого треугольника она задается высотами трех его вершин, то в общей мозаичной поверхности треугольники для смежных участков точно прилегают по сторонам: образуемая поверхность непрерывна. Однако, если на поверхности проведены горизонтали, то в этом случае они будут прямолинейны и параллельны в пределах треугольников, а на границах будет происходить резкое изменение их направления. Поэтому для некоторых приложений TIN в пределах каждого треугольника строится математическая поверхность, характеризующаяся плавным изменением углов наклона на границах треугольников. Анализ трендов. Поверхность аппроксимируется многочленом и структура выходных данных имеет вид алгебраической функции, которую можно использовать для расчета значений в точках растра или в любой точке поверхности. Линейное уравнение, например, z = а + b х + су описывает наклонную плоскую поверхность, а квадратичное z = а + b х + су + dx 2 + еху + fy 2 -простой холм или долину. Вообще говоря, любое сечение поверхности т-го порядка имеет не более (т – 1) чередующихся максимумов и минимумов. Например, кубическая поверхность может иметь в любом сечении один максимум и один минимум. Возможны значительные краевые эффекты, поскольку полиномиальная модель дает выпуклую поверхность.

Методы скользящего среднего и среднего взвешенного по расстоянию используются наиболее широко, особенно для моделирования плавно меняющихся поверхностей. Интерполированные значения представляют собой среднюю величину значений для п известных точек, либо среднее, полученное по интерполируемым точкам, и в общем случае обычно представляются формулой

Аппроксимационные методы интерполяции.

Аппроксимационные методы интерполяции применяются в тех случаях, когда имеется некоторая неопределенность в отношении имеющихся данных о поверхности; в их основе лежит соображение о том, что во многих наборах данных отображается медленно изменяющийся тренд поверхности, на который накладываются местные, быстро меняющиеся отклонения, приводящие к неточностям или ошибкам в данных. В таких случаях сглаживание за счет аппроксимации поверхности позволяет уменьшить влияние ошибочных данных на характер результирующей поверхности.

Методы интерполяции по ареалам.

Интерполяция по ареалам заключается в переносе данных с одного исходного набора ареалов (ключевого) на другой набор (целевой) и часто применяется при районировании территории. Если целевые ареалы представляют собой группировку ключевых ареалов, сделать это просто. Трудности возникают, если границы целевых ареалов не связаны с исходными ключевыми.

Рассмотрим два варианта интерполяции по ареалам: в первом из них в результате интерполяции суммарное значение интерполируемого показателя (например, численности населения) целевых ареалов в полном объеме не сохраняется, во втором - сохраняется.

Представим, что имеются данные о численности населения для некоторых районов с заданными границами, и их нужно распространить на более мелкую сетку районирования, границы которой в общем не совпадают с первой.

Методика заключается в следующем. Для каждого исходного района (ключевого ареала) рассчитывают плотность населения путем деления общего количества проживающих на площадь участка и присваивают полученное значение центральной точке (центроиду). На основе этого набора точек с помощью одного из методов, описанных выше, интерполируется регулярная сетка, для каждой ячейки сети определяется численность населения путем умножения рассчитанной плотности на площадь ячейки. Интерполированная сетка накладывается на итоговую карту, значения по каждой ячейке относятся к границам соответствующего целевого ареала. Затем рассчитывается общая численность населения каждого из итоговых районов.

К недостаткам метода можно отнести не совсем четкую определенность выбора центральной точки; методы интерполяции по точкам неадекватны, и что важнее всего - не сохраняется суммарная величина интерполируемого показателя ключевых ареалов (в данном случае общей численности населения зон переписи). Например, если исходная зона разделена на две целевые, то общее количество населения в них после интерполяции не обязательно будет равно численности населения исходной зоны.

Во втором варианте интерполяции применяют способы ГИС-технологии оверлея или построения гладкой поверхности, основанного на так называемой адаптивной интерполяции.

В первом способе осуществляют наложение ключевых и целевых ареалов, определяют долю каждого из исходных ареалов в составе целевых, величины показателя каждого исходного ареала делят пропорционально площадям его участков в разных целевых ареалах. Считается, что плотность показателя в пределах каждого ареала одинакова, например, если показатель - это общее население ареала, то плотность населения считается для него постоянной величиной.

Целью второго способа является создание гладкой поверхности без уступов (значения атрибутов не должны резко изменяться на границах ареалов) и сохранение суммарной величины показателя в пределах каждого ареала. Методика его такова. На картограмму, представляющую ключевые ареалы, накладывают густой растр, общее значение показателя для каждого ареала поровну делится между ячейками растра, перекрывающими ее, значения сглаживают путем замены величины для каждой ячейки растра средним по окрестности (по окну 2×2, 3×3, 5×5) и суммируют значения для всех ячеек каждого ареала. Далее значения для всех ячеек корректируют пропорционально так, чтобы общее значение показателя для ареала совпадало с исходным (например, если сумма меньше исходного значения на 10%, значения для каждой ячейки увеличиваются на 10%). Процесс повторяют до тех пор, пока не. прекратятся изменения.

Для описанного метода однородность в пределах ареалов необязательна, но слишком сильные вариации показателя в их пределах могут отразиться на качестве интерполяции.

Результаты могут быть представлены на карте горизонталями или непрерывными полутонами.

Применение метода требует задания некоторых граничных условий, так как по периферии исходных ареалов элементы растра могут выходить за пределы области изучения или соседствовать с ареалами, не имеющими значения интерполируемого показателя. Можно, например, присвоить плотности населения значение 0 (озеро и т. п.) или принять ее равной значениям самых дальних от центра ячеек области изучения.

При интерполяции по ареалам могут возникнуть весьма сложные случаи, например, когда нужно создать карту, показывающую «ареалы расселения», на основе данных о населении отдельных городов, особенно если эти ареалы в масштабе карты показываются точкой. Проблема возникает и для небольших исходных ареалов, когда отсутствуют файлы границ, а в данных указывается только положение центральной точки. Здесь возможны разные подходы: замена точек, к которым приписаны данные, на круги, радиус которых оценивается по расстояниям до соседних центроидов; определение пороговой плотности населения для отнесения территории к городской; распределение населения каждого города по его территории так, что в центре плотность населения выше, а к окраинам уменьшается; по точкам с пороговым значением показателя проводят линии, ограничивающие заселенные территории.

Часто попытка создать непрерывную поверхность с помощью интерполяции по ареалам по данным, приуроченным только к точкам, приводит к неправильным результатам.

Пользователь обычно оценивает успешность применения метода субъективно и, главным образом, визуально. До сих пор многие исследователи используют ручную интерполяцию или интерполяцию «на глазок» (этот метод обычно невысоко оценивается географами и картографами, однако широко используется геологами). В настоящее время предпринимаются попытки «извлечь» познания экспертов с помощью методов создания баз знаний и ввести их в экспертную систему, осуществляющую интерполяцию.

Форма пространственной конфигурации кабель-троса при буксировке подводного аппарата зависит от режима движения (скорости относительно воды, распределения течений по глубине), особенностей

аппарата и характеристик кабель-троса (диаметр, длина, плавучесть и т. п.). Особенность формы кабель-троса при движении комплекса вдоль заданной линии профиля заключается в том, что по его длине ридианальные углы в изменяются в широких пределах (так же, как и дополнительные меридианальные углы ), но азимутальные углы и углы гидродинамической скорости к в любой точке троса имеют малые значения. Это допущение позволяет представить уравнения связи гибкой нити для данного случая, выраженные в проекциях орта касательной на неподвижные оси, следующим образом:

а уравнения, полученные из условия равновесия сил на элементарном отрезке гибкой нити в стационарном режиме, записать в виде

Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (7.30) и (7.31) представляют собой математическое описание статической пространственной конфигурации кабель-троса. Ниже приводятся некоторые результаты исследований, выполненных путем решения уравнений (7.30) и (7.31) на ЦВМ.

На рис. 7.10 приведены кривые зависимости натяжения Т, глубины и расстояния между ПА и судном от скорости буксировки при фиксированной длине кабель-троса 6000 м. Натяжение в точке крепления к судну (у буксирной лебедки) уменьшается с увеличением скорости до 4 м/с и нарастает при дальнейшем увеличении скорости буксировки. При этом ПА всплывает с глубины 6000 до 1000 м, но расстояние между аппаратом и судном увеличивается.

Рис. 7.11 показывает, как изменяются натяжение в точке крепления к судну, длина кабель-троса и расстояние между ПА и судном с увеличением скорости буксировки при поддержании постоянной

глубины погружения ПА на 6000 м. С ростом скорости буксировки до 2 м/с необходимо увеличить длину кабель-троса до 13000 м. Вид статических конфигураций кабель-троса длиной 6000 м в вертикальной плоскости при скоростях буксировки (кривые 1, 2, 3 соответственно) иллюстрирует рис. 7.12.

Рис. 7.10. Статические параметры движения кабель-троса в зависимости от скорости буксировки.

Рис. 7.11. Статические параметры движения кабель-троса при постоянной глубине погружения ПА.

Особенность движения кабель-троса при буксировке ПА заключается в том, что оно происходит с малыми боковыми и вертикальными скоростями по сравнению со скоростью продольного перемещения кабеля. Для любой его точки соблюдаются условия и скорость поступательного продольного движения практически никогда не превосходит м/с. Кроме того, стремятся, чтобы буксировка протекала плавно, без резких усилий в кабеле. При этих условиях допускается раздельный анализ динамики движения кабель-троса в вертикальной (продольное движение) и горизонтальной (боковое движение) плоскостях. Уравнения продольного движения записываются в виде

а бокового

Все коэффициенты рассчитываются при постоянных значениях гидродинамической скорости и ее касательной составляющей и неизменном во времени натяжении кабель-троса, определяемого выражением

Дифференциальные уравнения в частных производных (7.32) и (7.33) решаются при начальных , а также граничных условиях на нижнем и верхнем концах кабель-троса, причем последние играют роль управляющих воздействий и складываются из соответствующих проекций скорости движения судна-буксира и изменения длины кабеля в результате работы буксирной лебедки:

До последнего времени географические факторы, оказывающие существенно важное влияние на распространение заболеваний, исследовались сравнительно мало. Справедливость предположения об однородном перемешивании населения в небольшом городе или деревне уже давно ставилась под сомнение, хотя вполне допустимо в качестве первого приближения принять, что перемещения источников инфекции носят случайный характер и во многом напоминают движение частиц в коллоидном растворе. Тем не менее необходимо, конечно, иметь некоторое представление о том, к какому эффекту может привести наличие большого числа восприимчивых индивидуумов в пунктах, удаленных на довольно большие расстояния от любого данного источника инфекции.

В детерминистской модели, принадлежащей Д. Кендаллу, предполагается существование бесконечного двумерного континуума популяции, в которой на единицу площади приходится о индивидуумов. Рассмотрим область , окружающую точку Р, и допустим, что числа восприимчивых, зараженных и удаленных из коллектива индивидуумов равны соответственно . Величины х, у и z могут быть функциями времени и положения, однако их сумма должна равняться единице. Основные уравнения движения, аналогичные системе (9.18), имеют вид

где - пространственно взвешенное среднее значение

Пусть и - постоянные, - элемент площади, окружающий точку Q, и - неотрицательный весовой коэффициент.

Допустим, что начальная концентрация заболеваний равномерно распределена в некоторой небольшой области, окружающей первоначальный очаг. Заметим также, что в произведение Роху в явном виде введен множитель о, с тем чтобы скорость распространения инфекции оставалась независимой от плотности популяции. Если бы у оставалось постоянным на плоскости, то интеграл (9.53) наверняка сходился бы. В этом случае удобно было бы потребовать, чтобы

Описанная модель позволяет довольно далеко продвинуть математические исследования. Можно показать (с одной-двумя оговорками), что пандемия охватит всю плоскость в том и только в том случае, если плотность популяции превышает пороговое значение . Если пандемия возникла, то ее интенсивность определяется единственным положительным корнем уравнения

Смысл этого выражения состоит в том, что доля индивидуумов, заболевающих в конце концов в любой области, как бы далеко она ни отстояла от первоначального эпидемического очага, будет не меньше?. Очевидно, что эта теорема Кендалла о пороге пандемии аналогична пороговой теореме Кермака и Мак-Кендрика, в которой пространственный фактор не учитывался.

Можно также построить модель для следующего частного случая. Пусть х и у - пространственные плотности восприимчивых и зараженных индивидуумов соответственно. Если считать инфекцию локальной и изотропной, то нетрудно показать, что уравнения, соответствующие первым двум уравнениям системы (9.18), можно записать в виде

где не пространственные координаты] и

Для начального периода, когда можно приближенно считать постоянной величиной, второе уравнение системы (9.56) примет вид

Это стандартное уравнение диффузии, решение которого имеет вид

где постоянная С зависит от начальных условий.

Общее число зараженных индивидуумов, находящихся вне круга радиусом R, равно

Следовательно,

и если , то . Радиус соответствующий какому-либо выбранному значению растет со скоростью . Эту величину можно рассматривать как скорость распространения эпидемии, и ее предельное значение для больших t равно . В одном из случаев эпидемии кори в Глазго в течение почти полугода скорость распространения составляла около 135 м в неделю.

Уравнения (9.56) легко видоизменить так, чтобы была учтена миграция восприимчивых и зараженных индивидуумов, а также появление новых восприимчивых индивидуумов. Как и в случае повторяющихся эпидемий, рассмотренных в разд. 9.4, здесь возможно равновесное решение, однако небольшие колебания затухают столь же быстро или даже быстрее, чем в непространственной модели. Таким образом, ясно, что в данном случае детерминистский подход имеет определенные ограничения. В принципе следовало бы, конечно, предпочесть стохастические модели, но обычно анализ их сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если он проводится чисто математическим путем.

Было выполнено несколько работ по моделированию этих процессов. Так, Бартлетт использовал ЭВМ для изучения нескольких последовательных искусственных эпидемий. Пространственный фактор был учтен введением сетки ячеек . Внутри каждой ячейки использовались типичные непространственные модели для непрерывного или дискретного времени и допускалась случайная миграция зараженных индивидуумов между ячейками, имеющими общую границу. Была получена информация о критическом объеме популяции, ниже которого происходит затухание эпидемического процесса. Основные параметры модели были получены на основе фактических эпидемиологических и демографических данных.

Недавно автор этой книги предпринял ряд аналогичных исследований, в которых была сделана попытка построить пространственное обобщение стохастических моделей для простого и общего случаев, рассмотренных в разд. 9.2 и 9.3. Допустим, что имеется квадратная решетка, каждый узел которой занят одним восприимчивым индивидуумом. В центре квадрата помещается источник инфекции и рассматривается такой процесс цепочечно-биномиального типа для дискретного времени, в котором опасности заражения подвергаются только индивидуумы, непосредственно примыкающие к какому-либо источнику инфекции. Это могут быть либо только четыре ближайших соседа (схема 1), либо также индивидуумы, расположенные по диагонали (схема 2); во втором случае всего будет восемь индивидуумов, лежащих на сторонах квадрата, центр которого занимает источник инфекции.

Очевидно, что выбор схемы произволен, однако в нашей работе использовалось последнее расположение.

Сначала была рассмотрена простая эпидемия без случаев выздоровления. Для удобства использовалась решетка ограниченного размера, и информация о состоянии каждого индивидуума (т. е. восприимчив ли он к инфекции или является ее источником) хранилась в вычислительной машине. В процессе моделирования проводилась текущая запись изменений состояния всех индивидуумов и подсчитывалось общее число новых случаев заболевания во всех квадратах с первоначальным источником инфекции в центре. В памяти машины фиксировались также текущие значения суммы и суммы квадратов числа случаев. Это позволило довольно легко вычислить средние значения и средние квадратические ошибки. Детали этого исследования будут опубликованы в отдельной статье, а здесь мы отметим лишь одну-две частные особенности этой работы. Например, ясно, что при очень высокой вероятности достаточного контакта будет иметь место почти детерминированное распространение эпидемии, при котором на каждом новом этапе развития эпидемии будет добавляться новый квадрат с источниками инфекции.

При меньших вероятностях будет иметь место действительно стохастическое распространение эпидемии. Так как каждый источник инфекции может заразить только восемь своих ближайших соседей, а не всю популяцию, то можно ожидать, что эпидемическая кривая для всей решетки будет возрастать не столь резко, как при однородном перемешивании всей популяции. Этот прогноз действительно оправдывается, и число новых случаев увеличивается с течением времени более или менее линейно до тех пор, пока не начнут сказываться краевые эффекты (поскольку решетка имеет ограниченную протяженность).

Таблица 9. Пространственная стохастическая модель простой эпидемии, построенная на решетке 21x21

В табл. 9 приведены результаты, полученные для решетки при наличии одного исходного источника инфекции и вероятности достаточного контакта, равной 0,6. Можно видеть, что между первым и десятым этапами эпидемии среднее число новых случаев каждый раз увеличивается примерно на 7,5. После этого начинает преобладать краевой эффект, и эпидемическая кривая резко падает вниз.

Можно также определить среднее число новых случаев для любой данной точки решетки и найти таким образом эпидемическую кривую для этой точки. Удобно проводить усреднение по всем точкам, лежащим на границе квадрата, в центре которого находится источник инфекции, хотя симметрия в этом случае не будет полной. Сравнение результатов для квадратов различного размера дает картину эпидемической волны, движущейся от первоначального источника инфекции.

Здесь мы имеем последовательность распределений, моды которых увеличиваются в линейной прогрессии, а дисперсия непрерывно возрастает.

Было также выполнено более детальное исследование эпидемии общего типа с удалением зараженных индивидуумов. Безусловно, все это очень упрощенные модели. Однако важно понять, что они могут быть значительно усовершенствованы. Чтобы учесть мобильность популяции, надо допустить, что восприимчивые индивидуумы заражаются и от тех источников инфекции, которые не являются их ближайшими соседями. Возможно, здесь придется использовать какой-то весовой коэффициент, зависящий от расстояния. Видоизменения, которые нужно будет ввести при этом в программу вычислительной машины, сравнительно невелики. На следующем этапе, возможно, удастся описать таким способом реальные или типичные популяции с самой разнообразной структурой. Это откроет возможность оценивать эпидемиологическое состояние реальных популяций с точки зрения опасности возникновения эпидемий различного типа.