Прохождение сигналов через нелинейные цепи. Прохождение сигналов через линейные цепи. Входной сигнал можно записать в виде
Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: , и .
Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными
функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а
Ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна
Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением
(3.4.3)
т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.
Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:
(3.4.4)
Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна
(3.4.5)
Плотность распределения вероятности и числовые характеристики сигнала на выходе безынерционной нелинейной цепи.
Баскаков стр. 300 – 302
Прохождение случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.
Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса в данный момент времени определяются значениями входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.
Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.
Рассмотрим простейший пример одномерной случайной величины. Пусть - плотность вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию . Определим плотность вероятности случайной величины η. Предположим, что функция такова, что обратная ей функция – однозначна.
Если случайная величина ζ находится в достаточно малом интервале 
, то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная величина η обязательно будет находиться в интервале 
, где , вероятности этих событий должны быть одинаковыми, т.е. 
(3.4.13)
откуда находим
(3.4.14)
Производная в последнем выражении берется по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной. Если обратная функция неоднозначная, т.е. имеет несколько ветвей , то для плотности вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей можно получить
(3.4.15)
Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем
(3.4.16)
Но согласно (3.4.13) 
и . Поэтому последнее выражение можно переписать
(3.4.17)
Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15) легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный результат для двумерного случая. Если случайные величины и имеют совместную плотность вероятностей , то для случайных величин
(3.4.18)
при однозначности обратных функций
совместная плотность вероятностей будет определяться выражением
Где величина
называется якобианом преобразования и представляет собой отношение элементарных площадей при переходе от одной системы координат к другой. Если , то справедливо равенство
где 
Вопрос № 23
Дискретная импульсная последовательность, их спектр.
Баскаков стр. 382-383
Дискретизация периодических сигналов. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Восстановление исходного сигнала по ДПФ. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).
Баскаков стр. 388-392
Вопрос № 24
Принцип цифровой обработки (ЦО) сигналов на основе дискретного преобразования Фурье.
Баскаков стр. 400-405
Реализация алгоритмов цифровой фильтрации (трансверсальные ЦФ, рекурсивные ЦФ, импульсная характеристика, сигнал на выходе)
Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).
Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:
Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;
Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;
Для НФ проще вычисление коэффициентов.
Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:
Рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;
Схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;
Рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.
Импульсная характеристика рекурсивного фильтра бесконечная, а нерекурсивного конечная.
Баскаков стр. 405-408, 409-411, 413
Вопрос №25
Понятие отношения сигнал/шум, фильтрации и оптимального фильтра.
Отношение сигнал/шум - безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.
Фильтрация - это процесс обработки сигнала частотно-избирательными устройствами с целью изменения спектрального состава сигнала.
Оптимальным линейным фильтром называют частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. На выходе максимизирует отношение сигнал/шум.
Баскаков стр. 423-424
Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.
Баскаков стр. 425, 431-432
Характеристики оптимального (согласованного) фильтра для сигналов известной формы (АЧХ, ФЧХ, ИХ).
Сигнал на выходе согласованного фильтра.
Методические указания к лабораторной работе
Лабораторная работа по исследованию преобразования спектров сигналов нелинейных цепях используется в процессе изучения курса “Радиотехнические цепи и сигналы” студентами специальности 201600 “Радиоэлектронные системы”. Лабораторная работа “ Прохождение сигналов через нелинейные цепи ” построена на базе алгоритмов дискретного преобразования Фурье и выполнена в форме приложения для Windows 95...98/2000/ Millenium / NT .
Ил. 7, список лит. 4 назв.
Одобрено учебно-методической комиссией приборостроительного факультета для специальности 201600 “Радиоэлектронные системы”.
Рецензент Н. Г. Гайсов.
Издательство ЮУрГУ, 2002
1. Введение
Лабораторная работа выполняется с использованием цифровой программной модели лабораторного стенда, выполненной в форме Windows - приложения. Укрупнённая структурная схема модели приведена на рис.1.
Рис. 1.
Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.
модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования, вычисляющий реализацию выходного сигнала. Модуль спектрального анализа, вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные Амплитудные спектры сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах.
Одновременно в соответствующих окнах отображаются реализации входного и выходного сигналов
Более подробное описание модели стенда приведено в приложении к данным методическим указаниям.
- Цель лабораторной работы
Ознакомиться с методами представления характеристик нелинейных цепей;
Закрепить теоретические положения анализа прохождения сигналов через нелинейные цепи;
Экспериментально исследовать зависимость характеристик спектра, формы и основных параметров сигнала на выходе нелинейной цепи, от формы и параметров входного сигнала и вида и характеристик нелинейной цепи (особое внимание следует уделить исследованию деформации спектра сигнала нелинейной цепью);
Проверить степень согласования экспериментальных данных с соответствующими теоретическими положениями.
3. Расчетное задание
Рассчитать и построить спектры на входе и выходе нелинейной цепи для двух трёх сигналов, заданных преподавателем и для двух форм нелинейной характеристики, также заданных преподавателем (задание выдаётся на подготовительном занятии).
4. Порядок выполнения работы и методические указания
Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо:
- Ознакомиться с приведенным в приложении описанием цифровой программной модели лабораторного стенда.
- Спланировать программу лабораторного исследования в соответствии с целью лабораторной работы.
- Выбрать и согласовать с преподавателем виды сигналов и виды нелинейных цепей, которые позволят Вам наиболее полно и наглядно объяснить влияние характеристик нелинейной цепи на характеристики спектра сигналов.
При выполнении лабораторной работы необходимо получить семейство графиков, характеризующих зависимость характеристик спектров от формы и параметров сигналов и формы и параметров нелинейной цепи.
При выполнении работы обратите внимание на возможные отклонения расчётных и экспериментальных данных.
В связи с тем, что физический смысл факторов, определяющих связь спектральных и временных характеристик сигналов, довольно сложно выяснять, не имея графических иллюстраций, рекомендуется сохранять для помещения в отчёт наиболее характерные осциллограммы сигналов и их спектров, изображенных в главном окне приложения (в графической форме, или в форме текстового файла).
5. Требования к содержанию отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы:
- Материалы экспериментального исследования с указанием условий эксперимента, в том числе, с указанием временной структуры сигнала и его параметров.
- Результаты выполнения расчетного задания. Графические изображения расчетных и экспериментальных зависимостей для одинаковых условий необходимо строить на общих координатных осях и в одинаковом масштабе .
- Анализ результатов эксперимента с обоснованием причин выявленных отклонений результатов эксперимента от расчетных данных.
- Список литературы, использованной при подготовке к лабораторной работе и при выполнении расчетного задания.
6.Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте основные способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов.
2. Что такое угол отсечки? Как для усилителя с отсечкой определить угол отсечки?
3. Дайте сравнительную характеристику условий применимости двух видов коэффициентов Берга ().
4. Найдите спектральный состав выходного сигнала, если её характеристика имеет вид полного полинома третьей степени, а на вход подаётся: а) гармонический сигнал с частотой ; б) бигармонический сигнал вида .
5. Какие члены полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейной цепи, участвуют в определении амплитуд третьей и шестой гармоник выходного сигнала, если на вход подаётся гармонический сигнал?
6. В каких случаях нелинейный элемент можно рассматривать как линейный элемент с переменными параметрами?
7. Поясните работу резонансного усилителя с отсечкой в режиме больших колебаний. Изобразите его эквивалентную схему.
8. Нарисуйте схему резонансного умножителя частоты на n и поясните требования к параметрам нелинейного элемента схемы.
9. Из каких соображений выбирается оптимальный угол отсечки в схеме резонансного умножителя частоты.
10. Нарисуйте эквивалентную схему ограничителя амплитуды и поясните её принцип действия. Что называют характеристикой ограничения?
- Гоноровский И. Р. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ВУЗов 4-е изд., перераб. И доп. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.: ил.
- Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для ВУЗов по спец. «Радиотехника» - 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1988. 208 с.:ил.
- Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учебное пособие для ВУЗов/Под ред. И. С. Гоноровского М.: Радио и связь, 1989. 248 с.:ил.
- Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. Вузов. 2-е изд., перераб. И доп. М.: Высш. шк., 2002. 214 с.: ил.
Приложение
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛАБОРАТОРНОГО СТЕНДА
1.П. Общие положения.
Для исследования характеристик спектрального анализа периодических сигналов Вашему вниманию предлагается программная цифровая модель, оснащённая удобным интерфейсом управления параметрами сигналов и визуального контроля деформации спектра при изменении параметров сигнала.
Структурная схема модели приведена на рисунке 1.П. Назначение всех элементов этой схемы очевидно и не требует дополнительных пояснений.
Рис. 1.П.
Сигнал, сформированный управляемым модулем формирования сигнала , поступает в модуль нелинейного преобразования , вычисляющий реализацию выходного сигнала . Модуль спектрального анализа , вычисляет спектры входного и выходного сигналов. Вычисленные амплитудные спектры и реализации сигналов отображаются модулем отображения в соответствующих окнах в форме осциллографических изображений.
Условия эксперимента, определяемые формой и параметрами сигнала, а также характеристиками нелинейного преобразователя, задаются в главном рабочем окне приложения.
Параметры и форма сигнала и нелинейного преобразователя, задаются с помощью соответствующих элементов ввода и редакции данных, расположенных на поле главного рабочего окна.
2.П. Главное рабочее окно приложения
Сигналы и их спектры на входе и выходе нелинейной цепи, а также характеристика нелинейной цепи отображаются модулем отображения в главном рабочем окне, в поле для визуального контроля, в форме осциллографического изображения. Примерный вид главного рабочего окна приведён на рисунке 2.П.
Рис. 2.П.
Массивы отсчётов сигналов и значений амплитудных спектров формируются и обновляются при любых изменениях параметров сигнала и могут быть сохранены в форме текстовых файлов для использования в отчётах по лабораторной работе. Для сохранения данных эксперимента воспользуйтесь меню главного окна «Сохранить/Имидж окна», «Сохранить/Значения сигнала», «Сохранить/Спектры сигналов» или «Сохранить/Все данные» (см. Рис. 3.П.)
Рис. 3.П.
Значения сигнала и спектральный ряд сигнала, сохранённые в текстовых файлах, могут быть использованы в других работах лабораторного комплекса по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы».
Формат данных текстового файла значений сигнала имеет следующий вид:
Строка символов (заголовок в произвольной форме, содержащий номер эксперимента)
Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Уровень)
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float )
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float )
Формат данных текстового файла спектров сигналов имеет следующий вид:
Строка символов («Спектр входного сигнала в эксперименте № » Целое без знака(Integer ))
Строка символов
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )
… (Всего 135 строк)
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )
Строка символов («Спектр выходного сигнала » Целое без знака(Integer ))
Строка символов (возможно, шапка таблицы: Отсчёт Амплитуда Фаза)
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )
… (Всего 135 строк)
Строка данных: Целое без знака (Integer ) Реальное со знаком (Float ) Реальное со знаком (Float )
Вид входного сигнала задаётся в главном рабочем окне приложения с помощью меню «Входной сигнал», а его амплитуда с помощью окна редактирования, оснащённого кнопками типа « Up / Down ».Все изменения немедленно отражаются в изображении осциллограмм сигналов и спектров.
Считывание числовых значений отсчётов сигналов или значений любого из амплитудных спектров можно осуществить, приблизительно совместив положение курсора «мыши» с необходимым элементом осциллограммы и нажав левую клавишу «мыши» (см. Рис. 4.П.).
Рис. 4.П.
Вид характеристики нелинейной цепи выбирается с помощью меню главного окна «Характеристика Н.Э.». Уровень ограничения или уровень отсечки в характеристике нелинейной цепи управляются с помощью движковых регуляторов (См. Рис. 5.П.).
Рис. 5.П
В нижней части главного рабочего окна приложения (см. Рис. 2.П.) помещено окно редактирования номера эксперимента. Номер эксперимента необходим для правильного распознавания сохранённых данных, и при смене вида сигнала наращивается автоматически. Однако при изменении только параметров входного сигнала и нелинейной цепи необходимо корректировать его вручную, если сохраняются данные эксперимента для одной и той же формы сигнала, но при разных значениях его параметров.
3.П. Окно ввода произвольной формы сигнала.
Для исследования нелинейного преобразования сигнала произвольной формы служит специальное окно «Задание формы сигнала», которое вызывается из меню главного рабочего окна «Вид сигнала / Произвольный» .
Вид окна «Произвольный сигнал» приведён на рисунке 6.
Рис. 6.
В этом окне можно редактировать форму сигнала, оперируя соответствующими кнопками, или загрузить данные из файла с расширением. txt , содержащего отсчёты в текстовой форме. Такой файл может быть вызван из специальной библиотеки или подготовлен при выполнении расчётного задания в процессе подготовки к лабораторной работе.
Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить».
Для загрузки отсчётов сигнала из текстового файла необходимо вызвать диалог загрузки, нажав клавишу «Загрузить». Формат данных текстового файла описан выше.
Для использования загруженных или отредактированных отсчётов сигнала необходимо нажать клавишу «Принять», а для отмены данных клавишу «Отменить».
Для определения устойчивости годограф строить необязательно. Для этого достаточно проанализировать АЧХ и ФЧХ. Следовательно, третья альтернативная формулировка критерия Найквиста: если АЧХ больше единице на частотах, при которых ФЧХ равна 0 или где n € z , то система с обратной связью не устойчива, в противном случае устойчива (Рисунок 3.10).
 |
Рис. 3.9 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с обратной связью
4 Прохождение случайных сигналов через линейные стационарные цепи
Основными характеристиками случайного процесса является плотность вероятности мгновенных значений сигнала, корреляционная функция и спектральная плотность мощности. Отыскание плотности вероятности мгновенных значений сигнала на выходе линейной цепи по известной плотности вероятности на входе цепи и известным характеристикам цепи представляет весьма сложную задачу. Однако, если входной сигнал является гауссовым, то выходной сигнал так же всегда будет гауссовым. Это означает, что решение задачи упрощается и сводится к нахождению параметров выходного сигнала (математического ожидания и дисперсии).
Задача нахождения корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного сигнала значительно проще.
Обратные преобразования Фурье от спектральной плотности мощности согласно теории Винера – Хинчина:
– корреляционная функция сигнала
Обратные преобразования Фурье от коэффициента передачи по мощности:
– корреляционная функция импульсной
характеристики сигнала
Так как произведение спектров двух сигналов равно спектру свёртки этих сигналов, то можно записать:
То есть корреляционная функция сигнала на выходе линейной цепи равна свёртке корреляционной функции сигнала на входе цепи и корреляционной функции импульсной характеристики цепи.
При анализе различных систем в качестве помехи часто выступает белый шум, имеющий спектральную плотность мощности постоянную во всём диапазоне частот:
и
корреляционная функция 
Следовательно, корреляционная функция выходного сигнала равна автокорреляционной функции импульсной характеристики с коэффициентом .
5 Прохождение сигналов через нелинейные цепи
Линейные стационарные цепи не изменяют спектральный состав сигнала. Основные радиотехнические преобразования, связанные с изменением спектрального состава сигнала, осуществляется либо с помощью нелинейных цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами.
Исследование нелинейных цепей представляет собой сложную задачу, состоящую в решении нелинейных дифференциальных уравнений. Анализ нелинейных цепей упрощается, если нелинейный элемент является безынерционным, т. е. реакция на изменение входного воздействия происходит мгновенно. Строго говоря, безынерционных элементов (БНЭ) нет, но в случае, когда время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса в нелинейном элементе, элемент может считаться безынерционным. В радиотехнике в качестве нелинейных элементов чаще всего используют полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы). Для описания таких приборов используют ВАХ, которые связывают между собой напряжения, приложенные к приборам и токи, протекающие через приборы.
Понятие линейной системы и анализ линейных систем. Применение дифференциальных уравнений. Применение импульсных характеристик. Применение частотных характеристик. Нелинейные безынерционные преобразования случайных процессов.
Обнаружение и оценка параметров сигналов в присутствии шумов.
6.1. Описание сигнала и помехи. Типы решаемых задач. Проверка статистических гипотез (выборка, выборочное пространство, функция правдоподобия, гипотезы простые и сложные, решения, правила решения, вероятности ошибок). Статистика, критерий качества принятия решений, матрица потерь, условный риск, средний риск.
6.2. Проверка двухальтернативных гипотез:
критерий Байеса, минимаксный критерий, критерий максимума апостериорной вероятности, критерий максимума правдоподобия, критерий Неймана-Пирсона, последовательный анализ Вальда, рабочая характеристика.
6.3. Обработка непрерывных сигналов. Функционал правдоподобия. Функционал отношения правдоподобия.
6.4. Применение функционала отношения правдоподобия для обнаружения полностью известного сигнала (алгоритм, вероятности ошибок) и сигнала со случайной фазой (алгоритм, вероятности ошибок).
Оценка параметров сигналов.
7.1. Точечная оценка, интервальная оценка. Свойства точечных оценок (состоятельность, несмёщенность, эффективность, достаточность). Неравенство Рао-Крамера. Оценка математического ожидания и дисперсии нормального распределения.
7.2. Применение функционала правдоподобия для оценки параметров сигнала. Оценка временного положения сигнала. Постановка задачи, шумовая и сигнальная функции и их характеристики, отношение сигнал/шум, определение сигнальной функции для прямоугольного видео сигнала, обработка пачки сигналов (отношение сигнал/шум).
7.3. Реализация алгоритма оценки временного положения сигнала. Корреляционный приемник, согласованный фильтр (импульсная и частотные характеристики, сигнал на выходе согласованного фильтра, отношение сигнал/шум, оптимальность согласованного фильтра, соотношение между реальным и согласованным фильтрами).
Теория информации
Теорема Котельникова для случайных процессов.
Квантование сигнала.
Мера информации.
3.1. Мера информации по Фишеру, по Хартли.
3.2. Мера информации по Шеннону (определение, энтропия и ее свойства, энтропия произведения ансамбля, энтропия непрерывного ансамбля Энтропия сигнала с ограниченной областью определения. Энтропия сигнала с неограниченной областью определения, но с ограниченной мощностью), Количество взаимной информации, частные количества взаимной информации. Эпсилон энтропия (ε- энтропия). Коэффициент сжатия, коэффициент избыточности.
4. Кодирование источника независимых сообщений : кодовое дерево, префиксность кода, равномерное кодирование, кодирование по методу Шеннона, кодирование по методу Хафмена, теорема Шеннона о кодировании источника. Характеристики источника и кодера источника.
5. Канал связи . Классификация. Скорость передачи информации и пропускная способность.
5.1. Канал без шумов: пропускная способность, теорема Шеннона для канала без шумов.
5.2. Канал с шумами: двоичный симметричный канала (пропускная способность), теорема Шеннона о пропускной способности для канала с шумами.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. П. ОГАРЁВА»
ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра «АВТОМАТИКА»
М. В. ИЛЬИН
с. с. КАПИТОНОВ
Авторы-составители: заведующий кафедрой «Автоматика», канд. техн. наук, доцент кафедры «Автоматика», канд. техн. наук, преподаватель кафедры «Автоматика» , доцент кафедры «Автоматика» .Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи: лаборатораторный практикум / Н. Н. Беспалов, М. В. Ильин, . - Саранск: Ковылк. тип., 2012. - 24 с.
ISBN ___________
Содержатся теоретические сведения и методические указания к выполнению лабораторной работы «Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи» по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника». Предназначено для студентов направлений подготовки «Электроника и наноэлектроника», «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Электроэнергетика и электротехника » и «Приборостроение». Однако данным пособием смогут пользоваться студенты и других специальностей связанных с электротехникой, электроникой и радиотехникой.
Печатается по решению научно-методического совета Мордовского государственного университета им. ёва.
УДК 621.391.3.011.71(076)
ББК Б534
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий лабораторный практикум содержит описание первой лабораторной работы, которая проводится при изучении студентами дневной и заочной форм обучения импульсных цепей в рамках курса «Электронные цепи и микросхемотехника».
Основной целью данной работы является изучение процессов передачи импульсов различной формы через RC -цепи.
Поскольку выполнение лабораторных работ по изучаемому курсу часто опережает лекционное изложение соответствующих разделов, в описании работы введены теоретические приложения, которые могут служить учебными пособиями к соответствующим разделам курса, а также пособиями по курсовому проектированию и типовым расчетам.
Однако использование для подготовки к лабораторной работе только одного теоретического приложения является недостаточным. Необходимо изучение соответствующих разделов в литературе, приведенной в конце сборника.
При подготовке к очередной работе студент обязан ознакомиться с описанием работы, теоретическим пособием, указанной литературой, а также выполнить предварительное расчетное задание.
Отчёт по работе должен содержать изучаемые схемы, выполненное предварительное расчетное задание и полученные результаты. Отчет должен быть оформлен аккуратно на листах стандартного размера А4, а также представлен в электронном виде.
Порядок прохождения данной лабораторной работы следующий.
1. Группа студентов, приступающая к выполнению лабораторных работ, должна пройти инструктаж по общим правилам поведения в данной лаборатории и по правилам техники безопасности , о чем делается запись в соответствующем журнале с росписью каждого студента.
2. Перед очередным занятием каждый студент сдает коллоквиум по текущей работе. Если студент не готов к работе или не выполнил предварительное расчетное задание, то он к работе не допускается.
3. На следующем занятии после выполнения работы , студент должен предъявить оформленный отчёт по выполненной работе и защитить работу.
Студенты, не защитившие двух работ к моменту выполнения очередной работы, к занятиям не допускаются. Оформление отчёта по работе проводится каждым студентом.
Все лабораторные работы по изучаемому курсу рассчитаны на четырехчасовое занятие в аудитории и четырехчасовую домашнюю подготовку.
1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Линейными цепями называются цепи, состоящие из совокупности линейных элементов, т. е. элементов, номинальные значения которых не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Для всех линейных цепей применим принцип суперпозиции. Например, для описания процессов в линейных цепях можно использовать методы, основанные на применении интеграла Дюамеля, или методы гармонического анализа. Рассматриваемые RC -цепи используются во многих практических схемах в качестве функциональных преобразователей. В зависимости от структуры и соотношения параметров элементов RC -цепи могут использоваться для дифференцирования (фильтр высоких частот) или интегрирования (фильтр низких частот) входных сигналов.
Для анализа переходных процессов в импульсных цепях используются классический, операторный, частотный методы, а также метод интеграла Дюамеля (суперпозиционный метод).
Классический метод . При расчете переходных процессов этим методом входной сигнал представляется в виде функции U вх (t ), а исследуемая RC-цепь описывается дифференциальным уравнением (ДУ), устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями, параметрами элементов схемы и внешним воздействием. При составлении ДУ используют ряд законов и теорем, определяющих связь между напряжениями и токами. Основными из них являются закон Ома, коммутации, Кирхгофа и теорема об эквивалентном генераторе.
Во многих случаях при анализе переходных процессов эквивалентная схема исследуемой цепи описывается ДУ первого порядка с постоянной правой частью:
где τ -постоянная времени, характеризующая инерционность цепи; x(t) -искомая величина (ток, напряжение); Z 0 - внешнее возмущающее воздействие.
Общее решение уравнения (1) имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image003_175.gif" width="93" height="29 src=">,
где А - постоянная интегрирования (находится из начальных условий); р - корень характеристического уравнения https://pandia.ru/text/78/069/images/image005_134.gif" width="63" height="48 src=">.
Таким образом, общее решение ДУ (1) запишется в виде:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image007_114.gif" width="40" height="20"> и , найдем:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image011_83.gif" width="123" height="24 src=">.
Следовательно, решение ДУ (1) можно записать в виде
https://pandia.ru/text/78/069/images/image013_87.gif" width="181" height="60 src=">. (3)
Для конкретной RC-цепи определяют операторный коэффициент передачи К(р) , затем находят изображение выходного напряжения и по функции U вых (р) определяют оригинал U вых (t ) , используя обратное преобразование Лапласа:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">определяется по формуле:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image017_73.gif" width="248" height="56 src=">.
Если знаменатель изображения U вых (р) имеет наряду с простыми корнями р 1, р 2 …, р n корень р n+1 кратности a, т. е. изображение U вых (р ) записывается в виде дроби:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23">будет функция:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12 height=23" height="23">Частотный способ . При использовании этого метода входной сигнал U вх (t )на основании прямого преобразования Фурье представляется в виде частотного спектра U вх (j w ). Затем находится комплексный коэффициент передачи К (j w )https://pandia.ru/text/78/069/images/image020_61.gif" width="244" height="60 src=">.
https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">сложной формы. Выходное напряжение находят из выражения:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image022_36.jpg" width="507" height="353 src=">
Рисунок 1 - Прохождение ступеньки напряжения через RC -цепь.
Входной сигнал можно записать в виде
0 при t < 0
U вх (t )= Um при t > 0.
При использовании классического метода необходимо составить ДУ RC -цепи. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать:
U вых (t ) = U c(t ) + U вх (t ). (4)
При подаче входного сигнала через ёмкость С протекает ток i (t ) и напряжение на ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image025_52.gif" width="237" height="60 src=">.
Учитывая, что Ri (t ) = U вых (t ), и дифференцируя правую и левую части этого уравнения, получим:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image027_46.gif" width="212" height="43 src=">.
Подставив в полученное уравнение значение U вх (t ), для выходного напряжения получим:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image029_48.gif" width="289 height=49" height="49">.
Для нахождения выражения U вых (t ) в данном случае можно воспользоваться уравнением (3), которое запишутся в виде:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image031_40.gif" width="67" height="25 src="> - выходное напряжение при t = ∞ (после окончания переходного процесса, т. е. при = 0); U вых (0) - выходное напряжение при t = 0, (в момент коммутации, когда U вых(0) = Um ).
Следовательно, выходное напряжение определится как:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image033_39.gif" width="104" height="52">. Операторный коэффициент передачи К (р ) для данной RC-цепи определится следующим образом:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image028_48.gif" width="129" height="47">.
Прохождение через RC -цепь импульса прямоугольной формы . На рисунке 2а изображена RC -цепь, на вход которой подается прямоугольный импульс с амплитудой Um и длительностью. Входной сигнал можно представить в виде двух разнополярных перепадов напряжения величиной Um , сдвинутых друг относительно друга на время t и (рисунок 2б).
При 0< t < t и
U вх (р)= https://pandia.ru/text/78/069/images/image039_37.gif" width="18" height="151 src=">.gif" width="151" height="72 src="> при t и > 0,
а затем, используя обратное преобразование Лапласа, находим временную функцию U вых (t ):
При 0< t < t и
U вых (t )= при t и > 0.
Форма выходного импульса зависит от соотношения t и и τ . На рисунке 3а приведена форма выходного сигнала при τ << t и , а на рисунке 3б изображен выходной сигнал при τ >> t и . Из рисунка видно, что в случае, если RC -цепь должна передавать прямоугольный импульс без искажения, то нужно выбирать соотношение τ >> t и . Для оценки искажений вершины импульса используют относительный спад вершины импульса Δ:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image046_20.jpg" width="597" height="285 src=">
Рисунок 3 - Форма выходного сигнала для различных t .
Аналогично можно определить форму выходного сигнала для RC -цепи, изображенной на рисунке 4а (интегрирующая RC -цепь). Из рисунка 4б видно, что для передачи импульса с минимальными искажениями фронта необходимо выбирать τ << t и .
https://pandia.ru/text/78/069/images/image048_18.jpg" width="376" height="261">
Рисунок 5 - К определению длительности фронта импульса.
Прохождение через RC -цепь линейно-нарастающего напряжения . На рисунке 6 представлена RC -цепь, на вход которой поступает линейно-нарастающее напряжение U вх (t ) =kt , где k = tgα - коэффициент пропорциональности.
https://pandia.ru/text/78/069/images/image050_24.gif" width="221" height="25 src=">.gif" width="31 height=43" height="43"> можно представить в виде ряда:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image054_22.gif" width="323" height="55 src=">.
Отсюда видно, что при малых значениях t (t <<τ ) выходное напряжение практически совпадает с входным, т. е. U вых (t ) ≈ kt .
Искажение формы выходного сигнала:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image056_21.gif" width="141" height="48 src="> - нижняя граничная частота, определяемая при спаде частотной характеристики, равном 3 дб. Например, для передачи напряжения развертки с длительностью 2 мс и отклонением от линейности не более 0,1% из последнего уравнения находим, что необходимо иметь f н < 0,16 Гц или RC = τ > 1с.
При t >> τ выходное напряжение стремится к постоянной величине kτ . Напряжение на ёмкости С может быть найдено следующим образом:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image058_11.jpg" width="369" height="314">
Рисунок 7 - Представление напряжения трапециидальной формы в виде четырех линейно-нарастающих сигналов.
Резисторные делители с несколькими входами. Пример схемы многовходового делителя приведён на рисунке 8.
https://pandia.ru/text/78/069/images/image060_22.gif" width="269" height="64 src=">,
В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/069/images/image064_18.gif" width="253" height="60 src=">,
https://pandia.ru/text/78/069/images/image067_19.gif" width="21" height="25 src=">, но и от числа слагаемых напряжений, соотношения величин сопротивлений связи и сопротивления нагрузки .
Рисунок 9 - Резисторный делитель, нагруженный ёмкостью C .
При передаче импульса через такой делитель происходит растягивание его фронтов, обусловленное процессами заряда и разряда конденсатора С , и уменьшение его амплитуды, обусловленное наличием делителя (https://pandia.ru/text/78/069/images/image072_18.gif" width="165" height="29 src=">
и амплитудой:
DIV_ADBLOCK157">
https://pandia.ru/text/78/069/images/image075_17.gif" width="128" height="49 src=">.
Резисторно-ёмкостные делители. В ряде случаев для передачи перепадов входного напряжения выход резистора https://pandia.ru/text/78/069/images/image077_4.jpg" width="511" height="377 src=">
Рисунок 9 - Прохождение прямоугольного импульса через резисторно-ёмкостной делитель.
Пусть на вход такого делителя подан прямоугольный импульс напряжения с амплитудой Е , причём будем считать, что источник входных импульсов - идеальный, лишённый внутреннего сопротивления, и, следовательно, способный развивать бесконечно большую мощность.
В момент коммутации (t = 0) происходит бесконечно большой скачок тока через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23">, и в результате на ёмкостях получаются мгновенные конечные скачки напряжения и https://pandia.ru/text/78/069/images/image082_18.gif" width="273" height="55 src=">,
где и - заряды на конденсаторах и в момент t . При t = 0 = , так как при t = 0 ток проходит только через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23 src="> то:
https://pandia.ru/text/78/069/images/image088_12.gif" width="336" height="60 src=">,
https://pandia.ru/text/78/069/images/image091_11.gif" width="205" height="55 src=">. и до начальных (при t > 0) уровней напряжения.
В некоторых устройствах (например, в мультивибраторах) в резисторно-ёмкостном делителе резистор https://pandia.ru/text/78/069/images/image111_9.gif" width="64" height="23 src=">.
На практике используются и резисторно-ёмкостные делители с несколькими входами.
2 РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ
Цель работы : Исследование влияния параметров RC -цепей на искажение формы передаваемых импульсов.
1. По заданию преподавателя для одной из представленных на рисунке 10 схем и выбранных величин параметров элементов рассчитать относительный спад вершины и длительности фронта выходного сигнала при подаче на вход однополярного прямоугольного импульса.
2. Для выбранной RC -цепи и параметров ее элементов рассчитать искажение формы выходного сигнала при подаче на вход линейно-нарастающего напряжения (пилообразного импульса).
3. Для выбранной схемы создать модель в Multisim. Экспериментально с помощью виртуального осциллографа определить величины параметров выходных импульсов, приведённых в пунктах 1 и 2, и сравнить их с расчётными величинами. Сохранить в виде графических файлов осциллограммы входных и выходных импульсов для последующего формирования отчёта.
4. В созданной в пункте 3 модели заменить источник входного сигнала на источник сигнала сложной формы. Варианты сложных сигналов приведены на рисунке 11. Форма сигнала задаётся преподавателем. Результаты моделирования привести в отчёте в виде осциллограмм входного и выходного сигнала.
https://pandia.ru/text/78/069/images/image113_3.jpg" width="604" height="527 src=">
Рисунок 11 - Входные сигналы различной формы.
3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте основные принципы классического метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
2. Сформулируйте основные принципы операторного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
3. Сформулируйте основные принципы частотного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
4. Какие цепи называют линейными?
5. В чем заключается принцип суперпозиции при анализе сигналов сложной формы?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Улахович теории линейных электрических цепей / . - СПб. : БХВ-Петербург, 2009. - 816 с.
2. Белецкий линейных электрических цепей. Издание 2 / - М. : Лань, 2011. - 544 с.
3. Колонтаевский: Учеб. пособие для СПТУ / . - М. : Высш. шк., 1988. -304 с.
4 Радиотехника: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , . - М. : Просвещение, 1986. -319 с.
5. Гольденберг устройства / . М. : Радио и связь, 1981. - 221 с.
6. Гоноровский цепи и сигналы: Учебник для вузов. 4-изд., пераб. и доп. / . М. : Радио и связь, 1988. -512 с.
предисловие ………………………………………………………. | ||
Краткие теоретические сведения ………………………………… | ||
Рабочее задание …………………………………………………… | ||
Контрольные вопросы …………………………………………… | ||
Библиографический список ……………………………………… |
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ
РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ RC -ЦЕПИ
Лабораторный практикум
по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника»
Учебное издание
|
С. С. КАПИТОНОВ, .
Печатается в соответствии с предоставленным
оригинал-макетом
Сдано в набор __.11.2012. Подписано в печать __.12.2012.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 0,00 Усл. печ. л. ___. Тираж 100 экз.
Мордовский государственный университет им. ёва
Отпечатано в Ковылкинской типографии Министерства печати и информации Республики Мордовия