Существование базиса векторного пространства. Существование базиса векторного пространства Теорема о дополнении до базиса

Головизин В.В. Лекции по алгебре и геометрии. 5

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 23. Базис векторного пространства.

Краткое содержание: критерий линейной зависимости системы ненулевых векторов, подсистемы системы векторов, порождающая система векторов, минимальная порождающая система и максимальная линейно независимая система, базис векторного пространства и 4 его равносильные определения, размерность векторного пространства, конечномерное векторное пространство и существование его базиса, дополнение до базиса.

п.1. Критерий линейной зависимости системы ненулевых векторов.

Теорема. Система ненулевых векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда найдется вектор системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы.

Доказательство. Пусть система состоит из ненулевых векторов и линейно зависимая. Рассмотрим систему из одного вектора:
. Т.к.
, то система
- линейно независимая. Присоединим к ней вектор . Если полученная система
линейно независимая, то присоединим к ней следующий вектор: . И т.д. продолжаем до тех пор, пока не получим линейно зависимую систему
, где . Такой номер обязательно найдется, т.к. исходная система
является линейно зависимой по условию.

Итак, по построению, получили линейно зависимую систему
, причем, система
является линейно независимой.

Система
представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. найдется такой ненулевой набор скаляров
, что

где скаляр
.

Действительно, в противном случае, если
, то мы имели бы нетривиальное представление нулевого вектора линейно независимой системой
, что невозможно.

Разделив последнее равенство на ненулевой скаляр
, мы можем выразить из него вектор :

Так как обратное утверждение очевидно, то теорема доказана.

п.2. Подсистемы системы векторов векторного пространства.

Определение. Любое непустое подмножество системы векторов
называется подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть
– система из 10 векторов. Тогда системы векторов:
;
,
– подсистемы данной системы векторов.

Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов
и пусть для определенности подсистема
, где
является линейно зависимой. Тогда она представляет нулевой вектор нетривиально:

где среди коэффициентов
есть хотя бы один не равный нулю. Но тогда следующее равенство есть нетривиальное представление нулевого вектора:

откуда, по определению, следует линейная зависимость системы
, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Доказательство. Допустим противное. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы является линейно зависимой. Тогда из теоремы следует линейная зависимость данной системы, что противоречит условию.

Следствие доказано.

п.3. Системы столбцов арифметического векторного пространства столбцов.

Из результатов предыдущего параграфа, как частный случай, следует теорема.

1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы.

2) Система столбцов является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один столбец системы линейно не выражается через другие столбцы данной системы.

3) Система столбцов, содержащая нулевой столбец является линейно зависимой.

4) Система столбцов, содержащая два равных столбца является линейно зависимой.

5) Система столбцов, содержащая два пропорциональных столбца является линейно зависимой.

6) Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

7) Любая подсистема линейно независимой системы столбцов является линейно независимой.

Единственное, что, возможно, здесь требуется уточнить это понятие пропорциональных столбцов.

Определение. Два ненулевых столбца
называют пропорциональными, если найдется скаляр
, такой, что
или

,
, …,
.

Пример. Система
является линейно зависимой, так как ее первые два столбца пропорциональны.

Замечание. Мы уже знаем (см. лекцию 21), что определитель равен нулю, если система его столбцов (строк) является линейно зависимой. В дальнейшем будет доказано, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то система его столбцов и система его строк являются линейно зависимыми.

п.4. Базис векторного пространства.

Определение. Система векторов
векторного пространства над полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если найдется такой набор скаляров
, что .

Определение. Система векторов векторного пространства называется минимальной порождающей системой, если при удалении из этой системы любого вектора она перестает быть порождающей системой.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если порождающая система векторов не является минимальной, то найдется хотя бы один вектор системы, при удалении которого из системы, оставшаяся система векторов по прежнему будет порождающей.

Лемма (О линейно зависимой порождающей системе.)

Если в линейно зависимой и порождающей системе векторов один из векторов линейно выражается через другие, то его можно удалить из системы и оставшаяся система векторов будет порождающей.

Доказательство. Пусть система
линейно зависимая и порождающая, и пусть один из ее векторов линейно выражается через другие векторы этой системы.

Для определенности и для простоты записи допустим, что

Так как
– порождающая система, то
найдется такой набор скаляров
, что

Отсюда получаем,

т.е. любой вектор х линейно выражается через векторы системы
, а это означает, что она является порождающей системой, ч.т.д.

Следствие 1. Линейно зависимая и порождающая система векторов не является минимальной.

Доказательство. Сразу же следует из леммы и определения минимальной порождающей системы векторов.

Следствие 2. Минимальная порождающая система векторов является линейно независимой.

Доказательство. Допустив противное, приходим к противоречию со следствием 1.

Определение. Система векторов векторного пространства называется максимальной линейно независимой системой, если при добавлении к этой системы любого вектора она становится линейно зависимой.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если система является линейно независимой, но не максимальной, то найдется вектор, при добавлении которого к системе, получается линейно независимая система.

Определение. Базисом векторного пространства V над полем K называется упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор векторного пространства единственным способом.

Иначе говоря, система векторов
векторного пространства V над полем K называется его базисом, если
существует единственный набор скаляров
, такой, что .

Теорема. (О четырех равносильных определениях базиса.)

Пусть
– упорядоченная система векторов векторного пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

1. Система
является базисом.

2. Система
является линейно независимой и порождающей системой векторов.

3. Система
является максимальной линейно независимой системой векторов.

4. Система
является минимальной порождающей системой векторов.

Доказательство.

Пусть система векторов
является базисом. Из определения базиса сразу же следует, что эта система векторов является порождающей системой векторов векторного пространства, поэтому нам нужно только доказать ее линейную независимость.

Допустим, что данная система векторов линейно зависимая. Тогда существует два представления нулевого вектора – тривиальное и нетривиальное, что противоречит определению базиса.

Пусть система векторов
является линейно независимой и порождающей. Нам нужно доказать, что данная линейно независимая система является максимальной.

Допустим противное. Пусть данная линейно независимая система векторов не является максимальной. Тогда, в силу замечания выше, найдется вектор, который можно будет добавить к этой системе и полученная система векторов остается линейно независимой. Однако, с другой стороны, добавленный к системе вектор может быть представлен в виде линейной комбинации исходной системы векторов в силу того, что она является порождающей системой.

И мы получаем, что в новой, расширенной, системе векторов один из ее векторов линейно выражается через другие вектора этой системы. Такая система векторов является линейно зависимой. Получили противоречие.

Пусть система векторов
векторного пространства является максимальной линейно независимой. Докажем, что она является минимальной порождающей системой.

а) Сначала докажем, что она является порождающей системой.

Заметим, что в силу линейной независимости, система
не содержит нулевого вектора. Пусть – произвольный ненулевой вектор. Добавим его к данной системе векторов:
. Получившаяся система ненулевых векторов является линейно зависимой, т.к. исходная система векторов максимальная линейно независимая. Значит, в этой системе, найдется вектор линейно выражающийся через предыдущие. В исходной линейно независимой системе
ни один из векторов не может выражаться через предыдущие, следовательно, линейно выражается через предыдущие только вектор х. Таким образом, система
представляет любой ненулевой вектор. Осталось заметить, что данная система, очевидно, представляет и нулевой вектор, т.е. система
является порождающей.

б) Теперь докажем ее минимальность. Допустим противное. Тогда один из векторов системы может быть удален из системы и оставшаяся система векторов по прежнему будет порождающей системой и, следовательно, удаленный из системы вектор тоже линейно выражается через оставшиеся вектора системы, что противоречит линейной независимости исходной системы векторов.

Пусть система векторов
векторного пространства является минимальной порождающей системой. Тогда она представляет любой вектор векторного пространства. Нам нужно доказать единственность представления.

Допустим противное. Пусть какой-нибудь вектор х линейно выражается через векторы данной системы двумя различными способами:

Вычитая из одного равенства другое, получаем:

В силу следствия 2, система
является линейно независимой, т.е. представляет нулевой вектор только тривмально, поэтому все коэффициенты этой линейной комбинации должны быть равны нулю:

Таким образом, любой вектор х линейно выражается через векторы данной системы единственным способом, ч.т.д.

Теорема доказана.

п.5. Размерность векторного пространства.

Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Доказательство. Пусть
произвольная линейно независимая система векторов,
- произвольная порождающая система. Допустим, что .

Т.к.
порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор . Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов:
. Тогда найдется вектор
этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей.

. Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор
и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему: .

Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система
линейно независимая и вектор не выражается линейно через вектор
. Значит, это может быть только один из векторов
. Удаляя его из системы , получаем, после перенумерования, систему , которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через шагов получим порождающую систему векторов: , где
, т.к. по нашему предположению . Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор , что противоречит условию линейной независимости системы
.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.

Доказательство. Пусть
и
– два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов.

Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1,
.

Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что
, ч.т.д.

Теорема 2 доказана.

Данная теорема позволяет ввести следующее определение.

Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе.

Обозначение:
или
.

п.6. Существование базиса векторного пространства.

Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Доказательство. По условию существует конечная порождающая система векторов данного конечномерного векторного пространства V:
.

Заметим сразу же, что если порождающая система векторов является пустой, т.е. не содержит ни одного вектора, то по определению полагают, что данное векторное пространство является нулевым, т.е.
. В этом случае по определению полагают, что базисом нулевого векторного пространства является пустой базис и его размерность по определению полагают равной нулю.

Пусть далее, ненулевое векторное пространство и
конечная порождающая система ненулевых векторов. Если она линейно независимая, то все доказано, т.к. линейно независимая и порождающая система векторов векторного пространства является его базисом. Если же данная система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы линейно выражается через оставшиеся и его можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов, в силу леммы п.5, будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов:
. Далее рассуждения повторяются. Если эта система линейно независимая, то она является базисом. Если же нет, то снова найдется вектор в этой системе, который можно удалить, а оставшаяся система будет порождающей.

Повторяя этот процесс, мы не можем остаться с пустой системой векторов, т.к. в самом крайнем случае мы придем к порождающей системе из одного ненулевого вектора, которая является линейно независимой, а, следовательно, базисом. Поэтому, на каком-то шаге мы приходим к линейно независимой и порождающей системе векторов, т.е. к базису.

Теорема доказана.

Лемма. Пусть . Тогда:

1. Любая система из вектора является линейно зависимой.

2. Любая линейно независимая система из векторов является его базисом.

Доказательство. 1). По условию леммы, число векторов в базисе равно и базис является порождающей системой, поэтому число векторов в любой линейно независимой системе не может превосходить .

2). Как следует из только что доказанного, любая линейно независимая система из векторов этого векторного пространства является максимальной, а следовательно, базисом.

Лемма доказана.

Теорема (О дополнении до базиса.) Любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть векторное пространство размерности n и
некоторая линейно независимая система его векторов. Тогда
.

Если
, то по предыдущей лемме, эта система является базисом и доказывать нечего.

Если же
, тогда данная система является не максимальной линейной независимой системой (иначе она была бы базисом, что невозможно, т.к. ). Следовательно, найдется вектор
, такой, что система
– линейно независимая.

Если, теперь , то система
является базисом.

Если же
, все повторяется. Процесс пополнения системы не может продолжаться бесконечно, т.к. на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов пространства , а по предыдущей лемме число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства. Следовательно, на каком-то шаге мы придем к базису данного пространства.

Теорема доказана.

п.7. Пример.

1. Пусть К - произвольное поле, - арифметическое векторное пространство столбцов высоты . Тогда . Для доказательства рассмотрим систему столбцов этого пространства.

Определение. Система элементов хь..., хч линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа а»,..., otq, не все равные нулю и такие, что Если равенство (1) выполняется только при а] = ... = aq = 0, то система элементов xj,..., х9 называется линейно независимой. Справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Система элементов Х\,..., xq (q ^ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных. Предположим сначала, что система элементов хь..., xq линейно зависима. Будем считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент а9. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на otq Ф О получим, что элементxq является линейной комбинацией элементов xi,..., xq: Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных, то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 Ф 0). Значит, система элементов Xi,_____ xq линейно зависима. Теорема 2. Пусть система элементов Х|,...,Х9 линейно независима и у = а\Х\ + .+ aqxq. Тогда коэффициенты ori,... ,aq определяются по элементу у единственным образом. м Пусть Тогда Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса откуда. Из линейной независимости элементов Х|,..., xq вытекает, что а{ и, значит, а Теорема 3. Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима. " Пусть первые q элементов системы хь... , xq, xg+l,... , хт линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что и не все коэффициенты от»,..., aq равны нулю. Добавляя элементы,..., хт с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации рис-5 равны нулю не все коэффициенты. Пример. Векторы из Vj линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5). Упорядоченная система элементов в|,..., е„ линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы в|,..., еп линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить п! упорядоченных систем. Пример, Пусть а.Ь.с - тройка некомпланарных векторов из Vj (рис.6). Тогда упорядоченные тройки - различные базисы Пусть с = (в! ... еп) - базис пространства V. Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел..., С такой, что В силу теоремы 2 числа,..., С - координаты элемента х в базисе с - определены однозначно. Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейшихдействиях сними. Пусть и дл я любого числа а Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число. Координаты элементачасто удобно записывать в виде столбца. Например, п - координатный столбец элемента в базисе с. Разложим произвольную систему элементов Х|,..., х, по базису с, и рассмотрим координатные столбцы элементов Х|,..., х9 в этом базисе: Теорема 4. Система элементов х\,... ,xq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе. * Пусть причем хотя бы один из коэффициентов А* отличен от нуля. Запишем это подробнее Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов xt,..., xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами А|,..., А?). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима. Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1). Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу. Теорема 5. Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из т элементов, где т > п, линейно зависима. или, что тоже, * В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай Пусть Xj,..., хп+| - произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису с и запишем координаты элементов........... в виде матрицы, отводя столбец координатам элемента. Получим матрицу из п строк ип+1 столбцов - Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов, то согласно теореме 4 система элементов Х|.....х„+| также линейно зависима. Следствие. Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового чиыа элементов. Пусть базис с состоит из п элементов, а базис с" из п элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е\,..., е"п заключаем, что п" ^ п. Меняя базисы е и с" местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ^ п". Тем самым, п = п. Лшкрность/олинейногопространства V называется число элементов базиса этого пространства. Пример 1. Базис координатного пространства Еп образуют элементы 4 Система элементов ei.ej,... ,еп линейно независима: из равенства получаем, что и значит, Кроме того, любой элемент Е, = ...из R" можно записать в виде линейной комбинации элементов Тем самым, размерность пространства R равна п. Пример 2. Однородная линейная система имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п - г. где г - ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an - число неизвестных. Пример 3. Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + 1. 4 Так как всякий многочлен /*(() степени не выше п имеет вид то достаточно показать линейную независимость элементов в| =. Рассмотрим равенство где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что «о = 0. 5 Зак.750 Продифференцируем равенство (3) по t: Вновь ПОЛОЖИВ t = 0, получим, ЧТО 0| = 0. Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что оо = «I = ... = а„ =0. Это. означает, что система элементов в| = 1,... ,еп4) = *п линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна п + 1. Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равная. Ясно, что если W - подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ^ п. Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности к ^ п. Пусть с = - базис пространства V. Легко убедиться втом, чтолинейная оболочка имеет размерность к. По определению Теорема б (о пополнении базиса). Пустьсистема элементов линейного пространства V размерности п линейно независима и к. Тогда в пространстве V найдутся элементы а*+1,... , ап такие, что система а„ - базис V. М Пусть b - произвольный элемент линейного пространства V. Если система линейно зависима, то ^так как в нетривиальной линейной комбинации коэффициент вследствие линейной независимости системы a Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система а|,..., а* была бы базисом согласно определению. Но в силу условия это невозможно. Поэтому должен существовать элемент a*+i € V такой, что пополненная система ai,..., аь,а*+| будет л иней но независимой. Если к + 1 = п, то эта система - базис пространства V. Если к + 1, то для системы a следует повторить предыдущие рассуждения. Таким способом любую заданную линейно независимую систему элементов можно достроить до базиса всего пространства V. Пример. Дополнить систему из двух векторов а| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) пространства R4 до базиса этого пространства. М Возьмем в пространстве R4 векторы aj = (и покажем, что система векторов ai.aj.aj, а4 - базис R4. Ранг матрицы строками которой являются координаты векторов ааг, аз, Э4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы at. аг. аз, а^ линейно независимы. > Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему к линейно независимых элементов до базиса пространства, матрица Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п - к строками вида так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение. Теорема 7. Пусть - линейные подпространства линейного пространства V, Тогда. Замена базиса Пусть - базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса с по базису с. Имеем Эти соотношения удобно записать в матричной форме Матрица называется матрицей перехода от базиса с к базису с". Свойства матрицы перехода Доказательство этого свойства проводится от противного. Из равенства det S = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементове",... »е"п в базисе с. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е"и..., е"п должны быть линейно зависимыми. Последнее противоречит тому, что с" - базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно. 2. Если..., и..., - координаты элемента х в базисах с и с" соответственно, то _ Заменяя в формуле их выражениями (1), получаем, что Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем I Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2. 3. S-1 - матрица перехода от базиса с" к базису с.

Называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что такого пространства вообще существует. Все ранее полученные были получены в предположении, что базис существует. Следующая закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.)

Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Доказательство. По условию существует конечная порождающая система данного конечномерного векторного пространства V: .

Заметим сразу же, что если порождающая система векторов является пустой, т.е. не содержит ни одного вектора, то по определению полагают, что данное векторное пространство является нулевым, т.е. . В этом случае по определению полагают, что базисом нулевого векторного пространства является пустой базис и его по определению полагают равной нулю.

Если эта система независимая, то все доказано, т.к. линейно независимая и порождающая система векторов векторного пространства является его базисом.

Если же данная система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы линейно выражается через оставшиеся и его можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов, будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Далее рассуждения повторяются.

Если эта система линейно независимая, то она является базисом. Если же нет, то снова найдется вектор в этой системе, который можно удалить, а оставшаяся система будет порождающей.

Теорема доказана.

Лемма. (О системах векторов в n-мерном векторном пространстве.)

Пусть . Тогда:

1. Любая система из вектора является линейно зависимой.

2. Любая линейно независимая система из векторов является его базисом.

Лемма доказана.

Доказательство. Пусть векторное пространство размерности n и некоторая линейно независимая система его векторов. Тогда .

Если , то по предыдущей лемме, эта система является базисом и доказывать нечего.

Если же , тогда данная система является не максимальной независимой системой (иначе она была бы базисом, что невозможно, т.к. ). Следовательно, найдется вектор , такой, что система – линейно независимая.

Если, теперь , то система является базисом.

Если же , все повторяется. Процесс пополнения системы не может продолжаться бесконечно, т.к. на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов пространства , а по предыдущей лемме число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства. Следовательно, на каком-то шаге мы придем к базису данного пространства., ч.т.д.

Определение. Базис

арифметического векторного пространства столбцов высоты n называется каноническим или естественным.

Пусть V векторное пространство над полем Р , S - система векторов из V .

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B 1, B 2, ..., B R системы S , что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B 1, B 2, ..., B R .

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S . Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS .

Если S = {0 }, то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Вектора A 1 , A 2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S - конечная система векторов из V , S ≠{0 }. Тогда справедливы утверждения.

1 ° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2 ° Система S обладает базисом.

2 ° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4 ° Если R = rangS , то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5 ° Если R = rangS , То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6 ° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B 1, B 2, ..., B R базис системы S, то

A = A 1 B 1 + A 2 B 2 +...+ A R B R ; A 1 , A 2 , ..., A N € P, (1)

И такое представление единственно .

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S , а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса , а числа a1, a2, ..., ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B 1, B 2, ..., B K - линейно независимая подсистема системы S . Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S .

Если имеется вектор в системеS , который линейно не выражается через вектора B 1, B 2, ..., B K , то обозначим его через B K +1 . Тогда системы B 1, B 2, ..., B K , B K +1 - линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S .

Если имеется вектор в системеS , который линейно не выражается через B 1, B 2, ..., B K , B K +1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системеS конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системыS .

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠{0 }. Тогда в системе S есть вектор B 1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом системаS обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S . Аналогично доказавается, что S £ R . Из этих двух неравенств следует R = S .

4° Пусть R = rangS , A 1, A 2, ..., A R - линейно независимая подсистема S . Покажем, что она является базисом систем S . Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A 1, A 2, ..., A R , A R +1,..., A R +T , содержащий более чем R

5° Если K векторов A 1, A 2, ..., A K (K > R ) системы S - линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A 1, A 2, ..., A K , A K +1,..., A K +T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B 1, B 2, ..., B R базис системы S . По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

A = a1B 1 + a2B 2 +...+ arB R.

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

A = b1B 1 + b2B 2 +...+ brB R.

Вычитая равенства почленно находим

0 = (a1 - b1)B 1 + (a2 - b2)B 2 +...+ (ar - br)B R.

Так как базис B 1, B 2, ..., B R линейно независимая система, то все коэффициенты ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R . Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, ..., R и единственность доказана.